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ELETTRODINAMICA E GAUGE, FASI COMPLESSE LOCALI

Post n°64 pubblicato il 03 Marzo 2009 da A1.Luca

Le equazioni di campo sono equazioni differenziali su campi tensoriali con sorgenti date da

d_aF_bc+d_bF_ca+d_cF_ab=0

d_aF^ab=J^b

in cui il significato dei termini è spiegato nel post precedente; queste equazioni non sono ulteriormente unificabili.

La ragione di ciò sta nel fatto che le sorgenti sono presenti solo nella seconda equazione; a questo punto si potrebbe pensare di fare come Maxwell aggiungendo un termine di sorgente nelle equazioni in cui non compare naturalmente, il ché dà origine alla teoria del Monopolo Magnetico: il nome deriva dal fatto che se un tale termine fosse presente, le equazioni in forma di divergenza del campo magnetico conterrebbero una sorgente analoga a quella presente nell'equazione di divergenza del campo elettrico, e siccome questa è la carica elettrica, o monopolo elettrico, segue che l'altra è chiamata carica magnetica, o monopolo magnetico. Tuttavia a differenza del termine aggiuntivo di Maxwell subito osservato, per il monopolo magnetico una sola osservazione è stata effettuata fornendo un risultato come quello predetto dalla teoria; ma la scienza non si basa su rivelazioni capitate una volta in modo fortuito, ed oltretutto la teoria prediceva anche una maggiore frequenza nelle osservazioni del monopolo, e questa frequenza non è mai stata osservata. In mancanza della conferma sperimentale con l'osservazione del monopolo magnetico, si ha che l'aggiunta del termine di sorgente non è possibile e, sebbene esteticamente giustificabile, lo si deve abbandonare.

Se si abbandona una tale idea, le equazioni fondamentali restano non ulterioremente unificabili; la non unificabilità proviene dall'asimmetria delle sorgenti, e così la carica magnetica non è equivalente alla carica elettrica, la quale carica elettrica è fondamentale mentre quella magnetica può essere solo il risultato dell'effetto di una carica elettrica in movimento, giustificando il passaggio dall'elettromagnetismo all'elettrodinamica.

In elettrodinamica quindi, le equazioni di campo sono non ulterioremnte unificabili, sebbene l'equazione senza sorgenti

d_aF_bc+d_bF_ca+d_cF_ab=0

può essere ridutta essendo risolubile, con soluzione data da

F_ab=d_aA_b-d_bA_a

in termini del vettore A detto potenziale elettrodinamico, e lasciando l'equazione

d_aF^ab=J^b

come unica equazione non è ulteriormente riducibile, che costituisce l'equazione fondamentale dell'elettrodinamica.

Il fatto che sia possibile scrivere il campo elettrodinamico in termini di un potenziale elettrodinamico ha una profonda importanza, in quanto la specifica forma data dalla relazione che definisce l'uno intermini dell'altro permetta di introdurre la trasformazione del tipo

A'_a=A_a-d_af

per una funzione f qualsiasi, dette trasformazioni di gauge; secondo queste trasformazioni l'equazione fondamentale resta invariata, così come tutte le grandezze fondamentali della teoria lo sono, e si ha dunque un'ulteriore simmetria della teoria stessa.

In questo sta perciò l'essenza dell'Elettrodinamica, la cui giustificazione è data dall'invarianza per trasformazioni di Gauge. E questa nuova simmetria ha un significato profondo.

Consideriamo infatti un campo complesso, cioè una funzione a valori complessi Y; si ha che dati Y ed Y^* due campi complessi coniugati uno dell'altro, non essendo essi reali, non sono osservabili. Per avere osservabili dobbiamo così avere valori reali, e dunque dobbiamo construire grandezze reali con campi complessi, cioè dobbiamo considerare solo combinazioni del tipo YY^*, ma anche di tipo derivativo dYY^* ovvero YdY^*, e così via: questo implica che i campi complessi siano sempre definiti a meno di una fase complessa, ossia trasformazioni del tipo

Y'=Ye^ig

sono tali che lasciano tutte le grandezze fondamentali della teoria invariate, e dunque sono un'ulteriore simmetria della teoria.

Il problema è che queste trasformazioni sono caratterizzate in generale da una fase g che dipende dal punto g=g(x), ed allora si ha che è solo attraverso l'uso del campo vettoriale B tale che si trasforma secondo la legge

B'_a=B_a-d_ag

nella generalizzazione della derivata data da

D_aY=d_aY+iB_aY

detta derivata covariante, che la trasformazione per i campi complessi di cui sopra può essere estesa anche alle derivate dei campi complessi.

In tal modo è immediato vedere come questa simmetria data nel caso in cui il campo vettoriale B sia il potenziale elettrodinamico ed in cui la fase g sia la funzione f riproduca esattamente la struttura della teoria di gauge di cui sopra.

Dunque, il fatto che le equazioni fondamentali dell'elettrodinamica non siano ulteriormente unificabili proviene dal fatto che esse sono asimmetriche; ed esse sono asimmetriche perché quella omogenea non è tanto un'equazione fisica quanto più l'identità geometrica cui deve sottostare il campo elettrodinamico per poter derivare da un potenziale elettrodinamico di gauge, e questo potenziale elettrodinamico di gauge non può non essere tale in una teoria gauge invariante. Il fatto poi che questa sia una teoria invariante di gauge deriva dal fatto che essa si basa a sua volta su di una teoria invariante di fase, che trova la sua giustificazione nell'esistenza di campi complessi... non resta allora che trovare campi complessi presenti in natura.

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