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Un infinito dominabile

Post n°1299 pubblicato il 07 Ottobre 2009 da tanksgodisfriday

Tag: numeri-e-giochi, riflessioni

Mercoledì,

oggi si gira la boa anche di questa settimana che mi sembra durare all'infinito. Per fortuna l'infinito può essere dominato, a volte. Come nell'espressione matematica riportata nell'immagine. Quanto "viene"?
L'espressione continua all'infinito, ogni volta aggiungendo il simbolo della radice quadrata e sotto un due più un altro simbolo di radice quadrata, e così via.

A guardarla sembra immaneggiabile: prima di estrarre la radice quadrata più esterna va calcolato quanto vale il termine da aggiungere al 2. Ma questo termine è a sua volta la radice quadrata di 2 più un qualcosa da calcolare, e così all'infinito.
Invece basta l'aritmetica dei primi anni del liceo, oppure un semplice ragionamento, per calcolare che fa ... quanto fa?

Se vi rimane del tempo libero, vi segnalo l'uscita del numero di ottobre di PolyMath, con i suoi problemi.

Buon mercoledì.

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Commenti al Post:

Un infinito dominabile

lunedi.bs il 07/10/09 alle 10:58 via WEB

Sono passata nel link di polymath, a curiosare :-) ed ho scoperto una cosa sensazionale, di quelle che ti cambiano la vita: il triangolo rettangolo ha "infinite" altezze!!!!! Cribbio, sto ancora ridendo...

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france.dagostino il 07/10/09 alle 11:55 via WEB

Buongiorno, fa 1. E' il limite per n che tende a infinito di 2 elevato a 1/2 a sua volta elevato a n. Quando n tende a infinito, 1/2 elevato a n tende a 0, e 2 elevato a 0 tende a 1. Ovviamente da destra. Buona giornata, F.

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tanksgodisfriday il 07/10/09 alle 14:30 via WEB

Uhm ... il risultato � sicuramente maggiore della radice quadrata di 2 ...

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lunedi.bs il 07/10/09 alle 12:37 via WEB

Mi sono divertita a riesumare qualche nozione algebrica per risolvere il problema 511. Ora, siccome le superiori le ho finite da un pezzo e non posso inviare risposte, il risultato � 1-3-6. Riguardo invece il tuo post, avevo pensato anch'io a 1, come risposta, ma senza tutto il ragionamento del commento di sopra :-)) (si pu� dire che sono andata a naso??) P.S. ma la maglietta solo risolvendo tutti i problemi?? :-P

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tanksgodisfriday il 07/10/09 alle 14:34 via WEB

Per la maglietta occorre risolvere tutti i problemi, oltre a dover essere studenti :))
Posso mettere di mio in palio un cappellino. Ne ho giusto uno "Ferrari" in auto, comprato in svendita colossale dal benzinaio e mai usato. E' tuo!
Per il problemino del mio post, invece, la risposta corretta non � 1, e il ragionamento da fare � semplice semplice ...

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lunedi.bs il 07/10/09 alle 17:10 via WEB

Visto che il ragionamento "a naso" � scartato, sempre per andirivieni di logica direi che la risposta � 1,4142, cio� un numero irrazionale. Non mi ci sto mettendo di calcolo, ma solo di logica. Ponendo per ipotesi che tu possa chiedere, che so, la radice q di 1, sotto radice q di 1 e via "radicando", la risposta sarebbe 1. Siccome chiedi la radice q di 2... rispondo 1,4142 etc. Sbaglio? P.S. Mi guadagner� il cappellino tentando di risolvere gli altri problemi, senza barare, ovvio :-P

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france.dagostino il 07/10/09 alle 15:49 via WEB

Uahhhhhh, che svista! Avevo letto: radice di radice di radice di.. di radice di 2. C'ho messo un minuto prima di capire perch� dicessi che era maggiore della radice di 2.. ho pensato "ma fammi vedere un po' questa immagine".

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france.dagostino il 07/10/09 alle 16:36 via WEB

Penso che che tenda a 2 da sinistra. Probabilmente si pu� dimostrare che, per qualunque n (n=numero di termini) la quantit� � sempre minore di 2. Comunque io ho fatto una cosa molto pi� semplice. Detto S questo numero, ho scritto S=sqrt(2+sqrt(S')), dove sia S che S' "hanno" infinite radici. Elevando al quadrato si ottiene S^2=2+S', ma S' � praticamente S. Quindi ho risolto l'equazione di secondo grado. Dimmi se il ragionamento � giusto, perch� non ne sono convinto. I ragazzi del Liceo, comunque, non credo avrebbero potuto risolvere il rebus, perch� che S'=S rientra in un approccio "sistemico", roba da ingegneri. Fammi sapere, saluti, F.

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peppe il 07/10/09 alle 22:05 via WEB

non so se hai notato la finezza: polymath di settembre chiedeva di trovare gli 11 numeri consecutivi che sommati darebbero 2010 (e che non esistono), ma la soluzione pubblicata e' relativa al numero 2002...

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tanksgodisfriday il 08/10/09 alle 07:37 via WEB

Notato :))

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tanksgodisfriday il 08/10/09 alle 07:44 via WEB

La risposta corretta � 2.
Il "trucco" sta nel fatto che l'espressione rimane identica a s� stessa, se si eliminano il segno di radice pi� esterno e il primo 2 (la sequenza � infinita).
Quindi, se si eleva l'espressione al quadrato, si ottiene un numero uguale a 2, pi� il numero incognito.
Ora, qual � il numero che sommato a 2, � uguale al suo quadrato? 2 + 2 = 4.

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tanksgodisfriday il 08/10/09 alle 07:53 via WEB

Pi� in generale, se si indica con X il numero utilizzato nell'espressione, e con N il valore dell'espressione, �:
X + N = N^2 (N al quadrato)
quindi:
X = N^2 - N
Il giochino vale quindi utilizzando sotto la radice:
- 2, e la somma vale 2
- 6, e la somma vale 3
- 12, con somma 4
- 20, con somma 5
e cos� via.

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