fisica facile

Supponiamo di avere una lastra infinita piana sulla quale sia presente una densità uniforme di carica s. Supponiamo poi che un filo inestensibile di lunghezza L sia fissato da una estremita al piano verticale e dall'altra estremità ad una sferetta di massa M e carica complessiva Q. Quanto varrà l'angolo θ (teta) formato dal piano e dal filo all'equilibrio?

Affinchè vi sia equilibrio, cioè la sferetta rimanga immobile, sospesa ad una certa distanza dal piano, si deve verificare che la somma vettoriale di tutte le forze agenti sulla pallina debba valere zero, cioè:

F_p + F_e = 0

Scomponiamo questa equazione vettoriale lungo gli assi indicati in figura (scelti opportunamente):

F_px + F_ex = 0

F_py + F_ey + T = 0

(T è la reazione vincolare esercitata dal filo)
L'equanzione per l'asse Y non ci serve. Infatti è ovvio che lungo l'asse Y così scelto non c'è movimento, altrimenti vorrebbe significare estensibilità o rottura del filo!
Ci interessa invece l'equazione per l'asse X:

F_P sin (θ) - F_e cos (θ) = 0              (*)

F_P è la forza peso agente sulla sferetta
F_e è la forza elettrostatica prodotta dal piano sulla sferetta stessa

F_p = M g          F_e = Q E      

dove   E = s / (2 e₀)   è il campo elettrico generato dal piano infinito in un qualunque punto nelle sue vicinanze (non vi è dipendenza dalla distanza).
e₀ è la costante dielettrica del vuoto.
Sostituendo questi risultati nell'equazione  (*) otteniamo:

Mg sin (θ) - Q s cos (θ) / (2 e₀) = 0

dividiamo per cos (θ)

Mg tan (θ) = Q s / (2 e₀)

tan (θ) = Q s / (2Mge₀)

Ora per trovare l'angolo θ ci serve la funzione trigonometrica inversa della tangente

θ = arctan [ Q s / (2Mge₀)]