TEORIA DEI NUMERI

Le coppie di numeri primi gemelli sono formate da due numeri primi separati solo da un altro numero. Le prime coppie sono:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883) ......

Tranne la prima coppia (3,5), tutte le coppie sono formate da numeri primi della forma [6n - 1;6n +1], con n numero intero positivo.
Per esempio:

(71,73) = ( 6x12 -1; 6x12 + 1 )

Non è stato ancora appurato se le coppie di numeri primi gemelli siano in numero finito o infinito, ma sono state trovate coppie formate anche da numeri primi molto grandi (Il record per ora è una coppia di numeri primi gemelli formati da 58711 cifre trovata dalla Twin Internet Prime Search).
Nel 1919, il matematico norvegese Viggo Brun ha scoperto che la somma dei reciproci dei numeri primi gemelli converge al numero 1,902160583104... detto appunto "costante di Brun". (in Matematica si intende per reciproco di un numero n il numero 1/n):

(1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + (1/11 + 1/13) + (1/17 + 1/19) + (1/29 + 1/31) ..... = 1,902160583104...

Sempre Brun ha mostrato che, fissato un numero N qualsiasi, il numero di primi gemelli minori di N è sempre minore di [N/log(N²)].

NUMERI ESPRIMIBILI IN DUE MODI DIVERSI COME SOMMA DI 2 CUBI

Wed, 02 Mar 2011 20:31:08 +0100

Un giorno il matematico Hardy (1877 – 1947) prese un taxi per andare a trovare l’amico matematico Ramanujan (1887 – 1920). Il numero del taxi era 1729 ed il repentino commento di Ramanujan fu: “E’ il più piccolo numero esprimibile come somma di 2 cubi positivi in 2 modi diversi!”.
Infatti:

1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³

Le successive “quaterne di Ramanujan” sono:

4104    =   2³ + 16³    = 9³ + 15³

13832 =   2³ + 24³    = 18³ + 20³

20683 =   10³ + 27³ = 19³ + 24³

32832 =   4³ + 32³    = 18³ + 30³

39312 =   2³ + 34³    = 15³ + 33³

40033 =   9³ + 34³    = 16³ + 33³

46683 =   3³ + 36³   =   27³ + 30³

64232 =   17³ + 39³ =   26³ + 36³

65728 =   12³ + 40³ =   31³ + 33³

Etc……

Il più piccolo numero esprimibile in 3 modi diversi come somma di 2 cubi positivi è:

87539319 = 167³ + 436³ = 228³ + 423³ = 255³ + 414³

Sempre a causa dell’aneddoto precedente, vengono chiamati numeri taxicab i più piccoli numeri naturali che si possono esprimere in n modi diversi come somma di due cubi positivi.
I primi 3 numeri taxicab saranno dunque:

t(1) = 2 = 1³ + 1³

t(2) = 1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³

t(3) = 87.539.319 = 167³ + 436³ = 228³ + 423³ = 255³ + 414³

Oltre a questi tre, finora sono noti soltanto t(4) e t(5), cioè: 6.963.472.309.248 e 48.988.659.276.962.496 che sono i più piccoli numeri esprimibili rispettivamente in 4 e 5 modi come somma di 2 cubi.

CONGRUENZE

Thu, 17 Feb 2011 19:23:11 +0100

Il concetto di Congruenza è di fondamentale importanza nella Teoria dei Numeri.
L'espressione simbolica a ≡ b (modulo n) , si legge: "a è congruo a b, modulo n ed indica che (a-b) è divisibile per n o, il che è lo stesso, che b è il resto della divisione di a diviso n.
Consideriamo un qualsiasi numero intero, per esempio 7, e scriviamo i resti della divisione di tutti i numeri naturali per 7. Otterremo:

1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 ............

Ciò vuol dire che, rispetto a 7, esistono 7 classi di numeri che, divisi per 7, danno lo stesso resto. Per esempio, la classe dei numeri che, divisi per 7, danno resto 5 sarà:

[5, 12, 19, 26, 33 .... ]

Tutti questi numeri sono soluzione della congruenza: x ≡ 5 (mod. 7), ma, nella Teoria delle Congruenze, si considera la minima soluzione, per cui diremo che la soluzione di questa congruenza è 5.
In generale potremo affermare che, dato un numero n, ogni intero a è equivalente ad un intero r tra 0 e n-1: il resto della divisione di a per n.
La congruenza che abbiamo preso in esame è di primo grado, in quanto il massimo esponente della incognita x è 1. La forma generale di una congruenza di primo grado sarà ax ≡ b (mod. n).
Alcuni Teoremi fodamentali della teoria dei Numeri possono essere espressi sotto forma di congruenza.
Useremo i simboli " ! " e " ^ " per indicare rispettivamente "fattoriale" ed "elevato a". Per esempio:

6! = 6x5x4x3x2x1 = 720
2^5 = 2x2x2x2x2 = 32

TEOREMA DI WILSON:
Se p è un numero primo, risulterà sempre:

(p-1)! ≡ -1 (mod p)

Cioè, se p è un numero primo, il resto della divisione di (p-1)! diviso p sarà sempre (p - 1).

Ad esempio, per il numero primo 7, avremo:

(p-1)! = (7 -1 )! = 6! = 720
720 : 7 = 102 col resto di 6 (e 6 = p - 1 = 7 - 1)

PICCOLO TEOREMA DI FERMAT:
Se p è un numero primo, allora per ogni intero a (che non divida p), risulterà:

a^p ≡ a (mod. p)

o, il che è lo stesso:

a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

Ad esempio, per il numero primo 13, sceglendo come base 2, avremo:

a^(p-1) = 2^12 = 4096
4096 : 13 = 315 con il resto di 1.

Dato un numero intero a, si defisce inverso di a modulo n, quel numero b, se esiste, tale che:

ab ≡ 1 (mod. n)

Se p è un numero primo, tutti i numeri interi compresi tra 1 e (p - 1) si ditribuiscono in (p - 1)/2 coppie di inversi. Ad esempio, se scegliamo p = 13, avremo 6 coppie di inversi:

(1,1) (2,7) (3,9) (4,10) (5,8) (6,11)

L'inverso b di a modulo p (numero primo), si può trovare applicando il piccolo Teorema di Fermat:

a^(p-1) ≡ 1 (mod. p)
a*a^(p-2) ≡ 1 (mod.p)
b = a^(p-2)
o, meglio:
b ≡ a^(p-2) (mod. p)

La Congruenza di primo grado ha una sola soluzione. Consideriamo adesso la semplice congruenza quadratica:

x^2 ≡ b (mod. p) con p numero primo.

Questa congruenza o ha 2 soluzioni o nessuna. Se ha soluzioni, diremo che b è un residuo quadratico di p. In pratica, un residuo quadratico di un numero primo p è il resto della divisione di un quadrato esatto diviso p. Tutti i numeri primi p hanno (p-1)/2 residui quadratici e (p-1)/2 non residui quadratici. Si noti che se b1 e b2 sono una soluzione, risulterà sempre b1 + b2 = p.
Ad esempio la congruenza quadratica:

x^2 ≡ 7 (mod 29)

Ha le 2 soluzioni 6 e 23, infatti:

6^2 = 36 che diviso per 29 fa 1 col resto di 7.
23^2 = 529 che diviso per 29 fa 18 col resto di 7.

inoltre: 6 + 23 = 29.

Chiudiamo dando due importanti definizioni della teoria dei Numeri:

Si definisce Ordine di un intero a modulo p (numero primo) il minimo esponente x, tale che:

a^x ≡ 1 (mod.p)

L'ordine di a modulo p è sempre un divisore di (p-1) e, se coincide proprio con (p-1), a si definisce Radice Primitiva del numero primo p.

NUMERI PRIMI

Wed, 12 Jan 2011 20:55:31 +0100

I numeri primi sono quei numeri che non hanno divisori, cioè che sono divisibili solo per se stessi e per l'unità.
Ad esempio 105 non è un numero primo perchè 105 = 3x5x7.
I numeri primi compresi tra 1 e 100 sono:
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97.
Tranne il numero 2, tutti i numeri primi sono dispari ed inoltre si dimostra che i numeri primi sono infiniti.
La distribuzione dei numeri primi è molto irregolare: vi sono numeri primi separati da un solo numero (come 71 - 73) e vi sono grandi "deserti" privi di numeri primi. Per esempio, tra i numeri primi 9990569 e 9990653 vi è un deserto di 83 numeri non primi, ma vi sono deserti ben più estesi.
Non è mai stata trovata una funzione che generi tutti i numeri primi, ma solo funzioni che generano un numero limitatissimo di numeri primi. Le due più semplici sono:
x^2 - x + 41 che genera 40 numeri primi sostituendo alla x tutti i numeri interi da 1 a 40.
2*x^2 + 29 che genera 28 numeri primi sostituendo alla x tutti i numeri interi da 1 a 28.
Per quanto riguarda il numero p(N) dei numeri primi tra 1 ed N, una buona approssimazione è data dalla formula:
p(N) = N/log(N)
tanto più valida quanto più grande è N.
Un'altra notevole proprietà dei numeri primi è data dal teorema di Wilson:
Chiamiamo F il prodotto di tutti i numeri interi da 1 a (P-1), allora, se P è primo, il resto della divisione di F per P è (P-1).
Una ulteriore proprietà è il "piccolo" Teorema di Fermat:
Se P è un numero primo, allora, per qualsiasi numero A compreso tra 1 e (P-1), il resto della divisione di A^P diviso per P è sempre A, cioè se si prende un qualunque numero A maggiore di 1, lo si moltiplica per se stesso P volte e si sottrae A, il risultato è divisibile per P.
Per esempio scegliamo il numero primo P = 7 e come numero qualsiasi 5. Avremo:
5^7 = 78125
78125 : 7 = 11160 col resto di 5.
I numeri primi possono essere divisi in due grandi famiglie: quelli che, divisi per 4, danno per resto 1 e quelli che, divisi per 4, danno per resto 3. I primi avranno forma generale P = 4n + 1 ed i secondi 4n + 3.
Ebbene i primi sono esprimibili in uno ed un solo modo come somma di due quadrati esatti ed i secondi in nessun modo.
Ad esempio il numero primo 89 è della forma 4n + 1, infatti 89 = 4*22 + 1. Esso è esprimibile in un solo modo come somma di due quadrati esatti, infatti 89 = 5² + 8². Il numero 71 invece è della forma 4n + 3 (71 = 4*17 +3) e non può essere rappresentato in nessun modo come somma di due quadrati esatti.
Da notare che i primi sono fattorizzabili nel campo complesso, per esempio:
89 = (8 + 5i)*(8 - 5i). 89 = (5 + 8i)*(5 - 8i).
Una congettura mai dimostrata, ma verificata anche per numeri enormi, è la cosidetta congettura di Goldbach:
Ogni numero pari è esprimibile come somma di due numeri primi. Ad esempio:
40 = 3 + 37 = 11 + 29 = 3 + 37.

TERNE PITAGORICHE

Sat, 01 Jan 2011 13:57:59 +0100

TERNE PITAGORICHE

SE A,B,C SONO TRE NUMERI INTERI, ALLORA SI DICE CHE FORMANO UNA TERNA PITAGORICA SE:

A² + B² = C²

ESEMPI:

3² + 4² = 5² (25 = 25)

5² + 12² = 13² (169 = 169)

28² + 45² = 53² (2089 = 2089)

PER COSTRUIRE UNA QUALSIASI TERNA PITAGORICA A² + B² = C², BASTA APPLICARE LA FORMULA:

A = M² - N²

B = 2*M*N

C = M² + N²

CON M ED N NUMERI INTERI ED M > N.

AD ESEMPIO, CON M = 5 ED N = 2 SI OTTIENE:

A = 25 – 4 = 21

B = 2*5*2 = 20

C = 25 + 4 = 29

INFATTI:

21² + 20² = 441 + 400 = 841 = 29²

LA TERNA SARA’ :

21² + 20² = 29²

NUMERI DI FIBONACCI

Sat, 01 Jan 2011 13:54:48 +0100

Leonardo da Pisa detto Fibonacci (filius Bonacci) era figlio dell’addetto alla dogana di Bogia, in Algeria, ove i Pisani intrattenevano fiorenti traffici commerciali. Egli visse tra il 1170 ed il 1250.
In quella città ebbe frequenti contatti con i matematici mussulmani e lì completò le sue conoscenze matematiche.
Molti furono i suoi contributi al progresso di questa scienza, ma il suo nome è essenzialmente legato alla famosa successione di numeri che porta il suo nome. La sua opera principale fu il Liber Abaci.
Egli ebbe anche frequenti contatti epistolari con l'imperatore Federico II.
Questa è la famosa successione ed i suoi termini vengono chiamati appunto "Numeri di Fibonacci":

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 …….

I primi due termini della successione sono 1 ed 1. Tutti gli altri termini sono la somma dei due termini che li precedono:

F1 = 1
F2 = 1
F3 = 1 + 1      = 2
F4 = 2 + 1      = 3
F5 = 3 + 2      = 5
F6 = 5 + 3      = 8
F7 = 8 + 5      = 13
F8 = 13 + 8    = 21
F9 = 21 + 13 = 34
.............................
ed in generale:

F(n) = F(n-2) + F(n-1)

Una proprietà notevolissima di questi numeri è che il rapporto tra un numero di Fibonacci e quello immediatamente precedente si avvicina sempre di più al numero 1.61803398874989.....
Questo numero è la famosa Sezione Aurea (o Numero Aureo) ed il suo valore corrispode all'espressione:

1 + radice quadrata di 5
----------------------------   = 1.61803398874989.....
                 2

Ad esempio:

377
----- = 1.618025751
233

610
----- = 1,618037135
377

987
----- = 1,618032787
610
                                                              F(n)
Dunque, per n tendente all'infinito: ---------- = 1.61803398874989.....
                                                             F(n-1)

Questo numero "magico" era conosciuto fin dall'antichità ed è certo che lo conoscessero Pitagora ed i suoi discepoli che lo chiamavano "Proporzione Divina". Essi lo ricavavano con un procedimento che corrisponde alla attuale soluzione dell'equazione di secondo grado: x² - x – 1 = 0
Nella civiltà Greca troviamo l'uso della sezione aurea nel Partenone di Atene, nel tempio di Atena a Paestum, nelle statue di Fidia, solo per citare le opere più note.
Troviamo poi la sezione aurea nel famoso "Uomo Vitruviano" di Leonardo da Vinci e nella Venere del Botticelli.
I costruttori delle Cattedrali Medioevali usavano costantemente la sezione aurea.
Anche la natura sembra prediligere i numeri di Fibonacci: il rapporto tra l'altezza di un essere umano e l'altezza da terra dell'ombelico è la sezione aurea, così come il rapporto tra il braccio e l'avanbraccio.
Troviamo questi numeri anche nella fillotassi (ordinamento delle foglie su un gambo) e nel girasole, ma, ripeto, questi sono solo esempi.
Per quanto riguarda la Musica, aggiungo delle considerazioni dell'amica Barbara Barotti:
La musica ha numerosi legami con la matematica e si ritiene che centrale in essa sia il ruolo della Sezione Aurea.
Nel pianoforte per esempio, particolare rilievo viene dato alla struttura della tastiera, in special modo con parallelismi fra i numeri di questa e quelli di Fibonacci.
I 13 tasti delle ottave, distinti in 8 bianchi e 5 neri, a loro volta divisi in gruppi da 2 e 3 tasti ciascuno: 2, 3, 5, 8, 13 appartengono infatti alla successione di Fibonacci.
In passato si è fatto notare, che molti degli intervalli musicali "naturali" sarebbero riducibili a frazioni in termini di numeri di Fibonacci (una "sesta maggiore" di "La" e "Do" 5/3, una "sesta minore" di "Do" e "Mi" 8/5............
Beethoven, nelle "33 variazioni sopra un valzer di Dabelli" suddivise la sua composizione in parti corrispondenti ai numeri di Fibonacci, il cui rapporto corrisponde al numero d'oro........

RESIDUI QUADRATICI

Sat, 01 Jan 2011 13:51:26 +0100

Il resto della divisione di un quadrato esatto per un numero primo P si chiama RESIDUO QUADRATICO di P. Ad esempio 64 (8x8) diviso per 29 (numero primo) fa 2 con resto 6, allora potremo dire che 6 è un residuo quadratico di P.
Tutti i numeri primi P hanno (P-1)/2 residui quadratici e (P-1)/2 non residui quadratici. Riconsiderando il nostro numero primo 29, avremo:
Residui quadratici di 29: 1,4,5,6,7,9,13,16,20,22,23,24,25,28. (14 residui).
Non residui quadratici di 29: 2,3,8,10,11,12,14,15,17,18.19.21.26,27. (14 non residui).
Esiste un metodo per verificare se un numero intero qualsiasi sia residuo o non residuo quadratico di un numero primo P: si calcola il resto della divisione per P di questo numero elevato a (P-1)/2. Se questo resto è 1, allora il numero è residuo quadratico di P; se questo resto è (P-1), allora questo numero è un non residuo quadratico di P.
Ad esempio, il resto della divisione per 29 di 2 elevato alla 14 è 28, per cui 2 è non residuo quadratico di 29. Invece il resto della divisione per 29 di 5 elevato alla 14 è 1, per cui 5 è un residuo quadratico di 29.
Tutti i numeri primi si dividono in due grandi famiglie: quelli della forma 4n+1 e quelli della forma 4n+3.
Ad esempio 29 è della forma 4n+1 perchè 29 = 4x7 + 1, mentre 43 è della forma 4n+3 perchè 43 = 4x10 + 3. Orbene, se P è un numero primo della forma 4n+1, allora, se a è un suo residuo quadratico, (P-a) sarà anche un suo residuo quadratico. Invece, se P è un numero primo della forma 4n+3, allora, se a è un suo residuo quadratico, (P-a) sarà un suo non residuo quadratico.
Per esempio 5 è un residuo quadratico di 29 (4x7 + 1), per cui (29-5) = 24 sarà anch'esso un residuo quadratico di 29.
Da questa proprietà deriva il fatto che, se P è un numero primo della forma 4n+1, allora è esprimibile in uno ed un solo modo come somma di due quadrati esatti, mentre, se P è un numero primo della forma 4n+3, allora non sarà mai esprimibile come somma di due quadrati esatti.
Una delle scoperte più affascinanti della Matematica è la legge della reciprocità quadratica. Essa afferma che le caratteristiche quadratiche di due numeri primi P e Q sono eguali tranne nel caso che i due numeri siano entrambi della forma 4n+3.
Ad esempio 13 è residuo quadratico di 29, allora anche 29 è residuo quadratico di 13, perchè sono entrambi della forma 4n+1. 19 è un non residuo quadratico di 43, allora 43 è un residuo quadratico di 19 perchè sono entrambe della forma 4n+3. 29 è un residuo quadratico di 83, allora 83 è un residuo quadratico di 29 perchè non sono entrambi della forma 4n+3.

NUMERI TRIANGOLARI

Sat, 01 Jan 2011 13:49:08 +0100

Un numero triangolare è un numero che è la somma dei primi N numeri naturali. Ad esempi 28 è un numero triangolare perchè:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28

Il nome "triangolare" deriva dal fatto che, fin dall'antichità, si notò che tali numeri potevano essere rappresentati da triangoli costituiti da punti, ciascuno dei quali è una unità. Ad esempio, nel nostro esempio (28):

*
**
***
****
*****
******
*******

Esiste una semplice formula per calcolare l'n-esimo numero triangolare, cioè la somma dei primi n numeri naturali:

T(n) = n*(n+1)/2

Per esempio, per n = 7, otteniamo:

T(7) = 7*(7+1)/2 = 7*8/2 = 56/2 = 28

I primi numeri triangolari sono:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990....

E' interessante notare che la somma di due numeri triangolari consecutivi è sempre un quadrato esatto, per esempio:

T(5) + T(6) = 15 + 21 = 36 = 6^2
T(6) + T(7) = 21 + 28 = 49 = 7^2
T(7) + T(8) = 28 + 36 = 64 = 8^2

Da notare anche che tutti i numeri perfetti (numeri uguali alla somma dei loro divisori propri) sono numeri triangolari.
Un'altra interessante proprietà è che il quadrato di un qualsiasi numero triangolare T(n) è uguale alla somma dei primi n numeri naturali al cubo:

[T(n)]^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ..... + (n-1)^3 + n^3

Per esempio:

[T(4)]^2 = 10^2 = 100
[T(4)]^2 = 1^3 + 2^3 +3^3 + 4^3 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100

C'è ancora da osservare che tutti i quadrati esatti dispari sono della forma 8*T(n) + 1.
Per esempio:

11^2 = 121 = 8*15 + 1 = 8*T(5) + 1
13^2 = 169 = 8*21 + 1 = 8*T(6) + 1

C'è infine da notare che ci sono infiniti numeri triangolari che sono anche quadrati esatti. I primi di essi sono:

T(1)        = 1                  = 1^2
T(8)        = 36                = 6^2
T(49)      = 1225            = 35^2
T(288)    = 41.616         = 204^2
T(1681) = 1.413.721    = 1189^2
T(9800) = 48.024.900 = 6930^2

GLOSSARIO DI TEORIA DEI NUMERI

Sat, 01 Jan 2011 13:46:27 +0100

NUMERI PRIMI: SONO I NUMERI INTERI DIVISIBILI SOLO PER SE STESSI E PER L'UNITA', ESSI SONO IN NUMERO INFINITO.

NUMERI PRIMI GEMELLI: SONO LE COPPIE DI NUMERI PRIMI SEPARATI SOLO DA UN NUMERO. ES: 71 - 73.

CONGETTURA DI GOLDBACH: OGNI NUMERO PARI E' SEMPRE ESPRIMIBILE COME SOMMA DI DUE NUMERI PRIMI.

FUNZIONI GENERATRICI DI NUMERI PRIMI: LA PIU' NOTA E' LA POLINOMIALE X^2 + X + 41 CHE, PONENDO AL POSTO DI X I NUMERI INTERI DA 0 A 39, GENERA 40 NUMERI PRIMI CONSECUTIVI.

FATTORI PRIMI: OGNI NUMERO E' ESPRIMIBILE IN UN SOLO MODO COME PRODOTTO DI NUMERI PRIMI. ES: 105 = 3*5*7 E NON E' ESPRIMIBILE IN NESSUN ALTRO MODO COME PRODOTTO DI NUMERI PRIMI.

DIVISORI: SONO TUTTI I NUMERI PER CUI UN INTERO E' DIVISIBILE. ES: I DIVISORI DI 105 SONO. 1,3,5,7,15,21,35.

NUMERI ABBONDANTI E DEFICIENTI: UN NUMERO E' ABBONDANTE SE E' INFERIORE ALLA SOMMA DEI SUOI DIVISORI PROPRI. AL CONTRARIO E' DEFICIENTE. ES: 20 E' ABBONDANTE PERCHE' LA SOMMA DEI SUOI DIVISORI PROPRI E' 22. 50 E' DEFICIENTE PERCHE' LA SOMMA DEI SUOI DIVISORI PROPRI E' 43.

NUMERI PERFETTI: SONO I NUMERI UGUALI ALLA SOMMA DEI LORO DIVISORI PROPRI. ES. 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. ESSI SONO PIUTTOSTO RARI.

NUMERI AMICI: SONO CIASCUNO LA SOMMA DEI DEIVISORI DELL'ALTRO. LA PIU' PICCOLA COPPIA DI NUMERI AMICI E' 220 - 284.

SERIE DI FIBONACCI: OGNI TERMINE DELLA SERIE E' LA SOMMA DEI DUE CHE LO PRECEDONO ED I PRIMI DUE TERMINI SONO 1 1 PER CUI I NUMERI DI FIBONACCI SONO 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144...... ESSI GODONO DI NOTEVOLI PROPRIETA'

EQUAZIONI DIOFANTEE: UN'EQUAZIONE DIOFANTEA DI PRIMO GRADO HA LA FORMA A*X + B*Y = C, CON A,B,C NUMERI INTERI. LA SOLUZIONE (X,Y) DEVE ESSERE UNA COPPIA DI NUMERI INTERI.
ES: UNA SOLUZIONE DELL'EQUAZIONE DIOFANTEA 3*X + 5*Y = 61 E' X = 7, Y = 8. ESISTONO EQUAZIONI DIOFANTEE DI GRADO SUPERIORE AL PRIMO.

TERNE PITAGORICHE: SONO LE TERNE DI NUMERI INTERI A,B,C TALI CHE A^2 + B^2 = C^2. ES: 3^2 + 4^2 = 5^2

FATTORIALE DI N: E' IL PRODOTTO DEI PRIMI NUMERI INTERI FINO AD N COMPRESO E SI INDICA CON N! ES: 6! = 1*2*3*4*5*6 = 720.

SERIE DI COLLATZ: DATO UN NUMERO INTERO INIZIALE N, IL TERMINE SUCCESSIVO SARA' N/2 SE N E' PARI, 3*N+1 SE N E' DISPARI. LA SERIE DI COLLATZ GIUNGE SEMPRE AD 1. ES: PARTENDO DA 20, SI OTTIENE: 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

PHI(N) FUNZIONE DI EULERO: E' IL NUMERO DEI NUMERI CHE NON HANNO DIVISORI COMUNI CON N. ES: PHI (20) = 8.

NEXTPRIME (N): E' IL NUMERO PRIMO PIU' PICCOLO SUCCESSIVO AD N. ES. NEXTPRIME(90) = 97

PALINDROMO: E' UN NUMERO CHE HA LO STESSO VALORE SE LETTO SIA DA SINISTRA CHE DA DESTRA. ES: 41814.

CONGRUENZA: SI DICE CHE A E' CONGRUO A B MODULO C SE B E' IL RESTO DELLA DIVISIONE DI A PER C. ES: 500 E' CONGRUO A 7 MODULO 29 PERCHE' LA DIVISIONE DI 500 PER 29 DA PER RESTO 7.

NUMERI DI SOPHIE GERMAIN: SONO QUELLE COPPIE DI NUMERI TALI CHE SIA P CHE 2*P + 1 SONO NUMERI PRIMI. ES: 11 - 23.

P = X^2 + Y^2: I NUMERI PRIMI SI DIVIDONO IN DUE GRANDI FAMIGLIE, QUELLI CHE DIVISI PER 4 DANNO RESTO 1 (P = 4*X+1) E QUELLI CHE DIVISI PER 4 DANNO RESTO 3 (P = 4*X+3). I PRIMI SONO ESPRIMIBILI IN UN SOLO MODO COME SOMMA DI DUE QUADRATI ESATTI, I SECONDI IN NESSUN MODO.

RESIDUI QUADRATICI DI UN NUMERO PRIMO: UN RESIDUO QUADRATICO DI UN NUMERO PRIMO E' IL RESTO DELLA DIVISIONE DI UN QUADRATO ESATTO PER IL NUMERO PRIMO. ES. 20 E' UN RESIDUO QUADRATICO DEL NUMERO PRIMO 29 PERCHE' E' IL RESTO DELLA DIVISIONE DEL QUADRATO ESATTO 49 (7*7) PER 29. UN NUMERO PRIMO P HA (P-1)/2 RESIDUI QUADRATICI E (P-1)/2 NON RESIDUI QUADRATICI.

INVERSO DI A MODULO P: IL NUMERO B SI DICE INVERSO DI A MODULO P SE A*B E' CONGRUO AD 1 MODULO P. ES: L'INVERSO DI 7 MODULO 13 E' 2.

PICCOLO TEOREMA DI FERMAT: SE P E' UN NUMERO PRIMO ALLORA PER TUTTI GLI A PRIMI CON P E' VERO CHE A^(P-1) E' CONGRUO AD 1 MODULO P.

GRANDE TEOREMA DI FERMAT: L'EQUAZIONE DIOFANTEA A^N + B^N = C^N HA SOLUZIONI SOLO PER N = 2 (TERNE PITAGORICHE).

TEOREMA DI WILSON: SE P E' UN NUMERO PRIMO, ALLORA (P-1)! E' CONGRUO A P-1 MODULO P.

SEQUENZE ALIQUOT: IN UNA SEQUENZA ALIQUOT OGNI NUMERO E' LA SOMMA DEL NUMERO DEI DIVISORI DEL NUMERO CHE LO PRECEDE. SI POSSONO VERIFICARE 4 CASI: 1)LA SEQUENZA TERMINA CON 1. 2) LA SEQUENZA TERMINA CON IL NUMERO INIZIALE (SEQUENZA ALIQUOT). 3) LA SEQUENZA E' COSTITUITA DA 2 SOLI NUMERI (NUMERI AMICI). 4) LA SEQUENZA E' COSTITUITA DA UN SOLO NUMERO (NUMERO PERFETTO). LA PIU' PICCOLA SEQUENZA ALIQUOT E' 12496 - 14288 - 15472 - 14536 - 14264 - 12496.

FRAZIONI EGIZIANE: UNA FRAZIONE PUO' ESSERE SEMPRE ESPRESSA COME SOMMA DI FRAZIONI TUTTE CON NUMERATORE 1. ES: 13/19 = 1/2 + 1/6 + 1/57.

EQUAZIONE DI PELL: E' L'EQUAZIONE DIOFANTEA Y^2 - N*X^2 = -1 O Y^2 -N*X^2 = +1. ES: PER N = 13 LA PRIMA HA MINIMA SOLUZIONE (Y=18,X=5), LA SECONDA (Y=649,X=180).

SERIE PALINDROMICHE: SI PARTE DA UN NUMERO INTERO. GLI SI SOMMA IL NUMERO LETTO DA DESTRA VERSO SINISTRA. SUL NUMERO OTTENUTO SI RIPETE L'OPERAZIONE E COSI' VIA. NELLA MAGGIORANZA DEI CASI SI GIUNGE AD UN NUMERO PALINDROMO, MA VI SONO DEI CASI IN CUI NON SI SA SE SI GIUNGERA' MAI AD UN NUMERO PALINDROMO, COME IL FAMOSO 196.

ORDINE DI UN NUMERO A MODULO P PRIMO. E' IL MINIMO ESPONENTE X TALE CHE A^X E' CONGRUO AD 1 MODULO P.

RADICE PRIMITIVA DI UN NUMERO PRIMO P: E' UN NUMERO A IL CUI ORDINE MODULO P E' (P-1).

MODPOW(A,B,C): E' LA FUNZIONE CHE RESTITUISCE A^B MODULO C

NUMERI TRIANGOLARI: SONO LA SOMMA DEI PRIMI N NUMERI NATURALI. I PRIMI NUMERI TRIANGOLARI SONO: 1,3,6,10.15,21,28,36.....

NUMERI DI MERSENNE: SONO I NUMERI PRIMI DELLA FORMA 2^N - 1. IN TUTTI I NUMERI DI MERSENNE L'ESPONENTE N E' UN NUMERO PRIMO MA SE IN UN NUMERO 2^N - 1 L'ESPONENTE N E' UN NUMERO PRIMO, CIO' NON GARANTISCE AFFATTO CHE 2^N - 1 SIA PRIMO.

DESERTI SENZA PRIMI: SONO VASTE DISTESE DI NUMERI INTERI CONSECUTIVI TRA I QUALI NON VI E' NESSUN NUMERO PRIMO. PER ESEMPIO TRA I NUMERI PRIMI 9551 E 9587 C'E' UN DESERTO DI 35 NUMERI NON PRIMI. MA VI SONO DESERTI BEN PIU' ESTESI. LA DISTRIBUZIONE DEI NUMERI PRIMI RESTA UN MISTERO!

NUMERI DI CHARMICHAEL: PER IL PICCOLO TEOREMA DI FERMAT, SE P E' PRIMO, PER TUTTI GLI A PRIMI CON P, SI HA CHE A^(P-1) E' CONGRUO AD 1 MODULO P. ORA ESISTONO ANCHE ALCUNI NUMERI NON PRIMI (RARI, MA INFINITI) CHE GODONO DI QUESTA PROPRIETA' E VENGONO CHIAMATI I NUMERI DI CHARMICHAEL DAL NOME DEL PRIMO MATEMATICO CHE LI STUDIO'. I PRIMI NUMERI DI CHARMICAEL SONO: 561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911........

A^3 + B^3 = C^3 + D^3: IL PIU' PICCOLO NUMERO ESPRIMIBILE IN DUE MODI DIVERSI COME SOMMA DI 2 CUBI ESATTI E' 1729, INFATTI:
1729 = 1^3 + 12^3 = 9"3 + 10^3
SEGUONO 4104, 13832, 39312, 46683........

NUMERI PERFETTI, NUMERI DI MERSENNE E NUMERI AMICI

Sat, 01 Jan 2011 13:40:46 +0100

Un numero si dice perfetto quando e’ eguale alla somma di tutti i suoi divisori propri (cioe’ escluso se stesso).

Ad esempio 28 e’ divisibile per 1,2,4,7,14 e risulta:

1+2+4+7+14 = 28.

I numeri perfetti sono piuttosto rari e pare che siano tutti numeri pari.

Non e’ pero’ stato ancora dimostrato che non esistono numeri perfetti dispari. Non si sa neanche se il loro numero sia infinito.

Gia’ gli antichi greci conoscevano 4 numeri perfetti: 6, 28, 496 e 8128.

Il 5° numero perfetto fu scoperto nel XV° secolo ed e’ 33550336.

Nel XVII° secolo il matematico italiano pierantonio cataldi scopri’ il 6° ed il 7° numero perfetto. Nel ‘900 il numero dei numeri perfetti conosciuti arrivo’ a 12. Il 12° (un numero di 77 cifre!) Fu scoperto, usando solo carta e penna, dal matematico edouard lucas nel 1877.

Attualmente sono conosciuti 39 numeri perfetti. Il 39° ha piu’ di 4 milioni di cifre .

Una notevole proprieta’ dei numeri perfetti e’ che, tranne il 6, sono tutti somma di numeri dispari consecutivi elevati al cubo:

28 = 1³ + 3³

496 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³

8128 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³

Euclide nel 300 avanti cristo dimostro’ il seguente teorema

(il simbolo ^ indica “elevato a”)

Se 2^(n) - 1 e’ un numero primo, allora il numero [2^(n-1)]*[2^(n) -1] e’ un numero perfetto.

Per esempio, per n = 3, si ha:

2^(n) – 1 = 2³ – 1 = 8 – 1 = 7 = numero primo,

Allora:

[2^(n-1)]*[2^(n) -1] = [2²] * [2³ - 1] = 4 * 7 = 28 = numero perfetto.

Per quanto detto assumono grande importanza i numeri primi della forma p = 2^(n) -1. Questi numeri vengono chiamati “numeri di Mersenne”.

Dunque i numeri di Mersenne sono i numeri primi della forma:

M = 2^n - 1

Marin Mersenne era un teologo, filosofo e matematico francese vissuto fra il 1588 ed il 1648 ed apparteneva all’ordine dei frati minori. Egli insegno’ filosofia a Nevers, ma poi rientro’ a Parigi dove si dedico’ alla matematica ed ebbe contatti con Cartesio e Pascal.

Egli scopri’ la notevole proprieta’ che:

Se 2^n – 1 e’ un numero primo, allora n e’ un numero primo. Si badi bene, pero’, che se n e’ un numero primo, cio’ non garantisce affatto che 2^n - 1 sia un numero primo.

I primi numeri di Mersenne sono:

M2 = 2^2 – 1 = 3

M3 = 2^3 – 1 = 7

M5 = 2^5 - 1 = 31

M7 = 2^7 – 1 = 127

M13 = 2^13 – 1 = 8191

I successivi numeri di Mersenne sono:

M17, M19, M31, M61, M89, M107, M127 ………

Esiste una organizzazione internazionale che ricerca i numeri di Mersenne: la gimps. Essa si avvale di ricercatori in tutto il mondo e chiunque puo’ partecipare (la gimps mette a disposizione un apposito software).

Un aggiornamento del settembre 2008 ci dice che sono stati scoperti il 45° ed il 46° numero di Mersenne.

A questo punto e’ doveroso un cenno sui numeri amici:

I numeri amici (detti anche numeri amicabili) sono quelle coppie di numeri interi tali che la somma dei divisori propri dell’uno e’ uguale all’altro e viceversa.

La piu’ piccola coppia di numeri amicabili e’ 220 – 284, infatti:

Divisori di 220 = 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110 e la loro somma e’ 284

Divisori di 284 = 1, 2, 4, 71, 142 e la loro somma e’ 220.

Altre coppie di numeri amici sono:

1184 – 1210

2620 – 2924

5020 – 5564

POLINOMIALE GENERATRICE DI NUMERI PRIMI

Sat, 01 Jan 2011 13:32:24 +0100

La distribuzione dei numeri primi resta tuttora un mistero. L'intervallo tra due numeri primi consecutivi è estremamente variabile : vi sono numeri primi "gemelli", separati da un solo numero come (71 - 73) e vi sono spazi enormi senza primi detti "deserti tra primi", per esempio, tra i numeri primi 9551 e 9587 c'è un deserto di 35 numeri non primi, ma vi sono deserti ben più estesi. Un problema insoluto resta quello di creare una funzione che generi solo numeri primi. Il risultato migliore fino ad adesso è la polinomiale x^2 + x + 41 (x^2 significa x al quadrato, cioè x*x) che genera 40 numeri primi consecutivi mettendo al posto della x i numeri interi da zero a 39. I numeri primi generati sono :

41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601.

Quando però, al posto di x, si inserisce il numero 40, si ottiene 1681 che non è un numero primo (1681 = 41*41).
La polinomiale comunque continua a generare un gran numero di numeri primi: fino ad x = 100 i numeri non primi generati sono solo 14.

PROBLEMI IRRISOLTI NELLA TEORIA DEI NUMERI

Sat, 01 Jan 2011 13:30:16 +0100

CONGETTURA DI GOLDBACH:
"Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi".

Per esempio: 8 = 3 + 5 ; 18 = 5 + 13 = 7 + 11.

La Congettura è stata testata per numeri enormi, ma finora nessuno è riuscito a darne una dimostrazione.

ESISTENZA DI NUMERI PERFETTI DISPARI:
Un numero si dice perfetto quando è uguale alla somma di tutti i suoi divisori escluso se stesso.
Ad esempio il numero 6 è divisibile per 1,2,3 e 1+2+3 = 6.

Il numero 28 è divisibile per 1,2,4,7,14 e 1+2+4+7+14 = 28.
I primi numeri perfetti sono: 6, 28, 496, 8928, 33.550.336, 8.589.869.056 ......

Attualmente si conoscono 47 numeri perfetti e sono tutti pari. Nessuno è mai riuscito a dimostrare che non esistono numeri perfetti dispari.

CONGETTURA DEI NUMERI PRIMI GEMELLI:
Si definiscono numeri primi gemelli quelle coppie di numeri tali che p e p+2 siano entrambi numeri primi. Le prime coppie di numeri primi gemelli sono:

(3 - 5), (5 - 7), (11 - 13), (17 - 19), (29 - 31), (41 - 43), (59 - 61), (71 - 73) ......

Sono state trovate coppie di numeri primi gemelli enormi, ma nessuno è mai riuscito a dimostrare che il numero di tali coppie è infinito.

CONGETTURA DI COLLATZ:
Una serie di Collatz si costruisce in questo modo:

1) Si scelga un numero intero qualsiasi.
2) Se è pari lo si divida per 2.
3) Se è dispari lo si moltipichi per 3 e si aggiunga 1.
4) Si ripeta l'operazione sul numero ottenuto.

La congettura afferma che tutte le serie di Collatz giungano alla fine al numero 1.
Ad edempio:

10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

La congettura non è mai stata dimostrata, ma, anche in questo caso, risulta sempre verificata, per quanto grande sia il numero di partenza.
Ecco un altro esempio:

27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

In questo esempio la serie converge ad 1 dopo 111 termini.

NUMERI DI SOPHIE GERMAIN:
Un numero primo di Sophie Germain è un numero primo p tale che 2p + 1 sia anch'esso un numero primo.
Per esempio 29 è un numero di Sophie Germain perchè:

2 x 29 + 1 = 59, anch'esso primo.

Non si sa se vi siano infiniti numeri primi di Sophie Germain.

EQUAZIONE DIOFANTEA P = x� + y�

Sat, 01 Jan 2011 13:23:43 +0100

EQUAZIONE P = x² + y² con P numero primo ed x ed y numeri interi positivi.

Possiamo dividere i numeri primi in due grandi famiglie: quelli della forma 4n + 1 e quelli della forma 4n + 3. I primi possono essere rappresentati in uno ed un solo modo come somma di due quadrati esatti, i secondi in nessun modo. Ad esempio il numero primo 89 è della forma 4n + 1, infatti 89 = 4*22 + 1. Esso è esprimibile in un solo modo come somma di due quadrati esatti, infatti 89 = 5² + 8². Il numero 71 invece è della forma 4n + 3 (71 = 4*17 +3) e non può essere rappresentato in nessun modo come somma di due quadrati esatti.

Per risolvere l’equazione diofantea P = x² + y² bisogna prima risolvere la congruenza:

z² ≡ -1 (mod. P). (1)

Questa congruenza ha soluzioni solo se P è della forma 4n + 1. Le soluzioni sono due e, se le chiamiamo A e B, sono tali che A + B = P.

Ad esempio se P = 29, le due soluzioni della congruenza sono 12 e 17, infatti:

12² + 1 = 145 divisibile per 29

17² + 1 = 290 divisibile per 29

Inoltre 12 + 17 = 29

Nelle considerazioni che seguono assumiamo che P sia sempre un numero primo della forma 4n + 1.

Una soluzione della (1) è data da:

A = ((p-1)/2)! Modulo P dove ! è il simbolo del fattoriale (es. 7! = 7*6*5*4*3*2*1).

Ad esempio se p = 29 si ha:

14! = 87178291200

Il resto della divisione di 87178291200 per 29 è 12 che è una soluzione della (1). L’altra soluzione si trova facilmente: B = P – A = 29 – 12 = 17.

Una soluzione della (1) che coinvolge numeri un po’ meno grandi è:

t^((p-1)/4) Modulo P

dove t è un qualsiasi non residuo quadratico di P ed il simbolo ^ indica elevato a.

sempre nel caso di P = 29, un suo non residuo quadratico è 2. avremo:

2^7 = 128

Il resto della divisione di 128 per 29 è anche qui 12.

Ricordiamo che un residuo quadratico di un numero primo P è il resto della divisione di un quadrato esatto per P e che tutti i numeri primi hanno (P-1)/2 residui quadratici e (P-1)/2 non residui quadratici.

Una volta trovate le soluzioni A e B della (1) si può facilmente risolvere l’ equazione P = x² + y² procedendo in questo modo:

Sia A il maggiore tra A e B. Si calcola il resto R della divisione di A per B. Se R*R< P, allora l'equazione è già risolta:

x = R ; y = sqr(P- R*R) (sqr indica la radice quadrata).

Se invece R*R > P allora bisogna reiterare il processo: si calcola il resto della divisione di B per R e così via.

Facciamo un esempio pratico:

Si vuole risolvere l’equazione diofantea 241 = x² + y².

241 = 4*60 + 1 quindi l’equazione ha soluzioni.

Dobbiamo risolvere la congruenza:

z² ≡ -1 modulo P

Usando il primo metodo, una soluzione sarà:

((P-1)/2)! Modulo P:

120! Modulo P = 64.

L’altra soluzione sarà:

241 – 64 = 177

Usando il secondo metodo, essendo 7 un non residuo quadratico di 241, si avrà:

7^((P-1)/4) modulo p = 7^60 modulo P = 177

L’altra soluzione sarà 241 – 177 = 64

Dunque le due soluzioni sono 64 e 177.

Possiamo ora procedere col metodo delle divisioni successive:

Il resto della divisione di 177 per 64 è 49.

49*49 >241

Il resto della divisione di 64 per 49 è 15

15*15 = 225 < 241

Allora:

x = 15

y = sqr(241 – 15*15) = sqr(241 – 225) = sqr(16) = 4

Dunque:

241 = 4² + 15²

Infatti:

4² + 15² = 16 + 225 = 241

Per chi fosse allergico a congruenze, residui e non residui quadratici vediamo in pratica come risolvere l’equazione diofantea P = x² + y² con P numero primo della forma 4n + 1 ed x ed y numeri interi:

Si calcoli ((P-1))/2)! e lo si divida per P. Sia A il resto di questa divisione. Sia B = P-A.

Sia A il maggiore tra A e B. Si calcola il resto R della divisione di A per B. Se R*R<P, allora l'equazione è già risolta:

x = R ; y = sqr(P- R*R) (sqr indica la radice quadrata).

Se invece R*R > P allora bisogna reiterare il processo: si calcola il resto della divisione di B per R e così via.

Attenzione che se P non è della forma 4n +1 (P = 4n + 3) l’equazione non ha soluzioni ed il metodo darebbe quindi risultati sballati!

Il problema è che ((P-1)/2)! È un numero enorme, allora conviene procedere così:

Si può calcolare direttamente il resto della divisione di ((p-1)/2)! Per P:

Si comincia a calcolare 1*3*4*5….. fino a che il suo valore supera P. Appena questo valore ha superato P si calcola il resto R della divisione per P. Poi si ricomincia a calcolare il fattoriale senza i termini già calcolati partendo da R:

R*m*(m+1)*(m+2)…. E non appena questo valore ha superato P, ci si ferma e si calcola il resto della divisione per P e così via.

Esempio: si calcoli il resto della divisione di ((29-1)/2)! Per 29:

1*2*3*4*5 = 120>29

Il resto della divisione di 120 per 29 è 4.

4*6*7 = 168>29

Il resto della divisione di 168 per 29 è 23.

23*8 = 184>29

Il resto della divisione di 184 per 29 è 10.

10*9 = 90 > 29

Il resto della divisione di 90 per 29 è 3.

3*10 = 30>29

Il resto della divisione di 30 per 29 è 1.

1*11*12 = 132>29

Il resto della divisione di 132 per 29 è 16.

16*13 = 208>29

Il resto della divisione di 208 per 29 è 5.

5*14 = 70>29

Il resto della divisione di 70 per 29 è 12.

In definitiva il resto della divisione di 14! Per 29 sarà 12, come già visto precedentemente.

Ovviamente questi calcoli non si fanno manualmente. Sul sito vi sono molti programmi da scaricare che fanno queste operazioni.

ALCUNI SEMPLICI ARTICOLI DIVULGATIVI SULLA TEORIA DEI NUMERI

Sun, 06 Jun 2010 12:41:57 +0100

Cliccare sull'argomento che interessa:

I NUMERI DI FIBONACCI E LA SEZIONE AUREA

TERNE PITAGORICHE

PICCOLO GLOSSARIO DI TEORIA DEI NUMERI

NUMERI PERFETTI - NUMERI DI MERSENNE - NUMERI AMICI

RESIDUI QUADRATICI

EQUAZIONE DIOFANTEA P = x² + y²

POLINOMIALE DI EULERO GENERATRICE DI 40 NUMERI PRIMI CONSECUTIVI

PILLOLE DI MATEMATICA

SU QUESTO SITO SI TROVANO PROGRAMMI GRATIS ESEGUIBILI PER WINDOWS SU QUESTI ARGOMENTI CON I RELATIVI SCREESHOTS (I PROGRAMMI SONO IN INGLESE, MA MOLTO SEMPLICI DA USARE):

http://numbertheorycalculator.myblog.it/

SU QUESTO SITO VI SONO INVECE UN CENTINAIO DI PROGRAMMI GRATIS DI MATEMATICA IN ITALIANO ESEGUIBILI PER WINDOWS:

http://programmigratisdimatematica.myblog.it/

QUI VI E' INVECE IL SITO "SCIENZA E CONOSCENZA" CON ARTICOLI SU ASTRONOMIA, SCIENZA, RELIGIONI, ESOTERISMO, MISTERI DEL PASSATO E DEL PRESENTE:

http://scienza.beeplog.it/

103 PROGRAMMI GRATIS IN VISUAL BASIC SULLA TEORIA DEI NUMERI DA SCARICARE

Mon, 16 Mar 2009 16:54:56 +0100

Ho scritto un centinaio di programmi in visual basic su teoria dei numeri - analisi indeterminata . aritmetiche superiori - numeri primi - fattorizzazione - congettura di Goldbach - congettura di Collatz - numeri di Mersenne . test di primalità - crivelli - numeri di Fibonacci - equazioni diofantee . equazioni di 2° e 3° grado - pi greco - congruenze - aritmetica modulare etc.etc.....

ALCUNI SCREESHOTS

Li offro ovviamente gratutamente agli utenti di questo blog. Li ho messi in un unico zip (soli 714 kb) su:

http://teoriadeinumeri.sitiwebs.com

e su:

http://rapidshare.com/files/209479999/Programmi_di_Teoria_dei_Numeri_di_Giuseppe_Merlino.zip

sito alternativo :

http://www.easy-share.com/1904037798/Programmi di Teoria dei Numeri di Giuseppe Merlino.zip

SE SI VOGLIONO SCARICARE SOLO I FILES CHE INTERESSANO, IN QUESTO SITO SONO ELENCATI UNO PER UNO E SI POSSONO SCARICARE SEPARATAMENTE:

http://programmigratisdimatematica.myblog.it/

QUESTO E' L'INDICE DEI PROGRAMMI :

acamod.exe                 aritmetica modulare
aliquomio                      sequenze aliquot
amipevb                       n. amici e perfetti
anadivi                         numero e somma dei divisori. Abbondanti e                                                  deficienti.
anaprim                        analisi di un n. primo
biquadrvb                     N = x^2 + y^2 una soluzione
biquagiu                       N = x^2 + y^2 tutte le soluzioni
carmivb                        numeri di Charmichael
colivb                           a congruo a b mod c
collamio                       Collatz
conichemio                   coniche
contframio                    frazione continua di un radicale
cribuo                           n. primi tra a e b
decbinmio                     da decimale a binario
dessert                         deserti senza n. primi
diffqua                           a^2 - b^2
dio1vb                           equazione diofantea di 1° grado
diprevb                          divisione 100 cifre
divimiovb                       divisori
divrestvb                       divisione con resto
ducubvb                         a^3 + b^3 = c^3 + d^3
egimio                            frazioni egiziane
epeseg                          N= a*b + a*c + b*c
eramio                           crivello
evalmio                          valutatore espressioni numeriche
facred                             fattorizzatore
factomio                         fattoriale cifre illimitate
fattomio                          fattori primi
fibennevb                       e.mo n. di Fibonacci
fifimio                             numeri di Fibonacci
formqmio                        forme quadratiche
ge20vb                           20 coppie di n. primi gemelli dopo N
genfrape                         frazione generatrice
gera2                              fraz. generatrici di radical 2
gldb e gldb2                     congettura di Goldbach
invmpvb                          inverso modulo p
kquaku                            a^2 - b^3 = k
mcdmpho                        M.C.D e m.c.m.
menoucon                       x^2 congruo a -1 mod. p
minonrera                       minimo non residuo quadratico e minima radice                                             primitiva di p
modpov                           a^ b modulo c (modpow)
multffu                             varie di teoria dei numeri
nepredi                            divisione in multiprecisione
nuprivb                            numero dei n. primi
palivb e pali2vb               serie palindromiche (reverse and add)
pellvb                              equazione di Pell
phivb                               phi (funzione di Eulero)
pidisp                              pigreco da serie
pivbmio                           pigreco cifre illimitate
pm7000                          crivello semplice
polipri                              studio di x^2 +x + 41
prienne                           ennesimo primo
prifoda                            n. primi di forma data
prinextvb                         nextprime
quabicub                         a^2 = b^3 + c^3
quanote                           somme eguali di quadrati consecutivi
radimia                            radice quadrata
raprivb                             tutte le radici primitive di p
renore                             residui e non residui quadratici di p
resnonres                        verifica se a è residuo o non residuo di p
segramio                         secondo grado
siglimio                            singola linea del triangolo di Tartaglia-Pascal
sistmio                             sistemi di equazioni
sogevb                             numeri di Sophie Germain
soquo                               1^2 + 2^2 + 3^2 + ....... N^2
sosse                               serie (1/(a^n))
stinupri                              stima del numero dei n. primi
studinterva                        studio di un intervallo
teiniz                                 forme quadratiche
tuttexp                               resti di a^j modulo p
tuttinve                              tutte le coppie di inversi di N
tuttord                               ordine di tutti gli a inferiori a p
tvlvb                                  N = x^2 + y^2 tavola
tepiprim                             terne pitagorich primitive
testprvb                             test di primalità
tregrabuo e trgramio          terzo grado
trequavb                            N = x^2 + y^2 + z^2
trequax                              P = x^2 + y^2   P^2 = x^2 + y^2   P^3 = x^2 + y^2
triavb                                 numeri triangolari
triquavb                             n. triangolari che sono quadrati esatti
tritarvb                               triangolo di Tartaglia - Pascal
tuquacu                              a^2 - b^3 = k
unapit                                 singola terna pitagorica
unosup                               periodo di 1/P
variecost                            costanti varie
vbmerse                             test di Lucas
vbpart                                 partizioni di N
verordvb                             ordine di a modulo p
zequcobvb                          z^2 congruo a b modulo p

DAL 3 APRILE 2009 E' POSSIBILE ANCHE SCARICARE IL PROGRAMMA GRATUITO "NUMBER THEORY CALCULATOR" DAL SITO:

http://numbertheorycalculator.myblog.it/

English site: http://giuseppemerlino.blogspot.com/

Sitio en español : http://programas-de-matematicas-gratuito.over-blog.es/

Site français: http://bardesane.blog-libre.net/

SITO "SCIENZA E CONOSCENZA":

http://scienza.beeplog.it/

RARI DOCUMENTI ESOTERICI CLICCA QUI

CONSIDERAZIONI VARIE SU MATEMATICA, FILOSOFIA, ASTRONOMIA, ASTROFISICA, TEORIA DELLA PERCEZIONE, FISICA ETC... CLICCA QUI

PER UN PICCOLO GLOSSARIO DI TEORIA DEI NUMERI, CLICCARE SUL LINK SOTTOSTANTE:

http://numbertheory.myblog.it/glossario-di-teoria-dei-numeri/

ARTICOLI DIVULGATIVI SU ASTRONOMIA ED ASTROFISICA SU:

http://astronomia2009.splinder.com/

MISTERI DEL PASSATO E DEL PRESENTE:

http://misteri2009.blogspot.com/

SITO DI ESOTERISMO E MISTERI:

http://esoterismo.bloggatore.com/

CONTROINFORMAZIONE:

http://problematichesociali.leonardo.it/blog