Paghe e contabilità

UN NUOVO PUNTO DI VISTA SU SUCCESSIONI E SERIE di Walter Caputo - 6/7/2010 - PARTE 2 di 2

Come possiamo calcolare la somma non solo dei primi 4 numeri ma di tutti i numeri naturali (considerando che sono infiniti)? Basta considerare che il numero complessivo di elementi è pari a �, e che il primo è 1, mentre l’ultimo è �. Di conseguenza, se applichiamo la formula precedente, otteniamo (�/2) per (1 + �). Ma (�/2) è equivalente a (1/2) per �, cioè a 0,5� (nel senso di 0,5 per �). Allora, a questo punto, moltiplichiamo 0,5� per (1 + �), ottenendo 0,5� + 0,5�² (in quanto � per � fa � al quadrato), risultato che va scritto come 0,5�² + 0,5�, perché, nei sistemi posizionali, prima si scrivono le potenze più grandi e poi quelle più piccole. Ma che numero abbiamo ottenuto? Che cos’è 0,5�² + 0,5�? In buona sostanza, a quanto ammonta la somma di questa sequenza infinita di termini?

Nel nuovo sistema numerale introdotto dal Prof. Sergeyev, i numeri sono composti da “parti” contenenti �. Se � ha potenza zero (e quindi fa 1, perché �⁰ = 1), la parte in oggetto è finita; se invece � ha potenza positiva almeno finita, la parte è infinita; se infine � ha potenza negativa almeno finita, la parte è infinitesima (perché ad es., �^-1 = 1/� che è un infinitesimo, ma è strettamente maggiore di zero). Grazie a questa chiave di lettura, possiamo affermare che il risultato precedentemente ottenuto, cioè 0,5�² + 0,5�, è un numero che non ha parti finite (perché non ha numeri non moltiplicati per �), ma è composto da due parti infinite e non è un numero naturale, ma naturale esteso perché (0,5�² + 0,5�) > � (**). Certo, direte voi, ma allora è un numero infinito ! Sì, ma la novità è che esso è calcolabile. E non c’è bisogno di usare i limiti, né conoscere la complicata algebra dei limiti. Si fa in fretta e addirittura un computer può farlo al posto nostro.

Tuttavia abbiamo finora considerato una sequenza infinita di elementi, in cui ciascun elemento è un numero finito (1,2,3,4,….). Nello stesso modo possiamo calcolare la somma quando ogni elemento è un infinito oppure quando ogni elemento è un infinitesimo.

Supponiamo di avere nella nostra somma sempre � addendi, dove ogni addendo è un numero infinito: il primo elemento invece di essere 1 sarà 1� (il secondo 2� e così via), mentre l’ultimo elemento, invece di essere �, sarà �² (cioè da 1�, 2�, 3�, 4� si arriva a ��, vale a dire �²). Dunque abbiamo (�/2) per (� + �²), vale a dire 0,5�³ + 0,5�².

In modo analogo possiamo sommare i numeri infinitesimi. Se il numero totale degli elementi sarà sempre �, ma il primo elemento sarà 1�^-1 (il secondo 2�^-1, il terzo 3�^-1 e così via), allora l’ultimo elemento sarà ��^-1 cioè 1 (perché ��^-1 = �⁰ = 1). Dunque abbiamo (�/2) per (�^-1 + 1), vale a dire 0,5�¹ + 0,5.

(*) Approfondimenti

LA FISICA DELL’INFINITO: http://www.gravita-zero.org/2010/03/la-fisica-dellinfinito.html

A COSA SERVE L’INFINITO: http://www.gravita-zero.org/2010/04/cosa-serve-linfinito.html

MATEMATICA, INFINITO E PROGRAMMI SCOLASTICI: http://www.gravita-zero.org/2010/05/matematica-infinito-e-programmi.html

L’ILLUSIONE DELLA CONTINUITA’: http://www.gravita-zero.org/2010/05/lillusione-della-continuita.html

MISURARE L’INFINITO: http://www.gravita-zero.org/2010/06/misurare-linfinito.html

(**) Per l’insieme dei numeri naturali estesi si veda la parte finale del seguente articolo: http://www.gravita-zero.org/2010/06/misurare-linfinito.html