M.C. Escher, Cascata.“ascoltare la musica equivale alla nascosta attività aritmetica di un animo che non è consapevole di effettuare un calcolo, ma che ne percepisce il risultato in termini di piacevolezza”(G.W. Leibniz, Die Philosophischen Schriften, a cura di Gehrard, Lorenz, Leipzig, 1932, pp. 605-606) "....Uno dei canoni più strani dell’Offerta è il “Canos per tonos” a tre voci, nel quale la voce più alta espone una variazione del “Tema Regio” e le due voci sottostanti sono un’armonizzazione del tema centrale.La stranezza di questo canone sta nel fatto che quando il tema giunge alla conclusione (o sembra giungerci) non è più in do minore ma in re minore. Ripetendo il processo si arriva alla tonalità di mi, poi alla tonalità di fa e così via. Dopo un certo numero di iterazioni ci si aspetterebbe di trovarsi ad una tonalità più alta. E invece no! Ci si ritrova alla tonalità di partenza; e così all’infinito. Queste modulazioni successive inducono l’orecchio ad aspettarsi una tonalità più alta rispetto a quella di partenza, ma dopo la sesta modulazione ci si ritrova, non senza un forte capogiro, alla tonalità di partenza. Dunque, salendo o scendendo da una scala con organizzazione gerarchica, ci si ritrova al punto di partenza.Dato che ogni “copia” del canone conserva l’informazione originaria, cioè il tema originario, è evidente che tale trasformazione – che mantiene l’informazione – è equivalente al termine matematico di isomorfismo. E questo ci porta di tutto punto all’interno di un universo semantico contiguo, l’universo del numero, ovvero la mathesis. Contiguo. Ma avremmo potuto dire speculare visto che le strutture penta-dimensionali della musica hanno un corrispettivo nel linguaggio della matematica.In particolare, il canone utilizzato nell’Offerta può essere interpretato con il “Teorema dell’incompletezza” di Gödel (questa è la tesi esposta da Hofstadter in Gödel, Escher, Bach: un'eterna ghirlanda brillante).Potrebbe sembrare assurdo, ma in questa teoria, complessa e inaccessibile a non addetti ai lavori per il grado di tecnicismo e di astrazione di cui si serve, si formalizza un’intuizione, semplice ma robusta, che fece la sua comparsa più di duemila anni fa.La questione riguarda il famoso paradosso di Epimenide, ai più conosciuto come “paradosso del mentitore”:…se Epimenide da Creta afferma: tutti i cretesi mentono, allora Epimenide dice il vero o dice il falso?Non c’è soluzione di senso per questa proposizione visto che in tutti e due i casi abbiamo come unica possibilità una contraddizione. Infatti, se Epimenide dice il vero, allora è ovvio che dice il falso; d’altro canto se dice il falso, và da sé che sta dicendo il vero.È evidente a questo punto che siamo all’interno di un circolo vizioso, un labirinto logico che non ammette alcuna via d’uscita.Non abbiamo bisogno di sforzarci molto per trovare altri esempi di questo semplice ragionamento circolare. Il primo ce lo suggerisce Bertrand Russell, uno dei più importanti filosofi della matematica del secolo scorso. L’argomento suona pressappoco così:…in un villaggio dove tutti gli uomini sono rasati, c’è un solo barbiere il quale rasa tutti gli uomini che non si radono da soli. Orbene: chi rade il barbiere?Se distinguiamo gli uomini del villaggio in due insiemi, quelli che si radono da soli e quelli che si fanno radere dal barbiere, ricadiamo di nuovo nella “reductio ad absurdum”.Un ultimo esempio, più subdolo e forse un tantino naif. Leggete la proposizione che segue e stabilite se è vera o è falsa: “questa proposizione è falsa”Non preoccupatevi se comincia a girarvi la testa. È normale. Ci sono voluti decine e decine di secoli per comprendere queste stranezze e per ricondurle a forza in una logica di umana comprensione..
Kurt Gödel dimostrò che, all’interno di un sistema matematico, ad esempio l’aritmetica, è possibile derivare degli enunciati che sono indimostrabili a partire dagli assiomi di base (ovvero le regole grammaticali attraverso le quali è lecito combinare le parole – ovvero le formule – in modo sensato). Se si definisce una struttura assiomatica come “coerente”, allora l’insieme stesso degli assiomi sarà incompleto, cioè esisterà sempre una domanda che non troverà risposta sulla base di questi.Detta in altro modo la tesi di Gödel suona grosso modo così: potete sforzarvi finché volete, costruire senza posa le più astratte e perfette strutture matematiche possibili, ma non c’è via di scampo poiché ogni sistema matematico contiene in sé proposizioni irrimediabilmente non decidibili. Questa proprietà viene anche detta ricorsività e su di essa si è sviluppata buona parte della logica-matematica contemporanea...." Davide Rabacchin
