COMPITO A SoluzionePer il teorema della corda = 2r sen (π/4 )= r√2, dove r è il raggio del cerchio.Poiché il raggio OB forma con la corda AB un angolo di π/4 e un angolo retto con la retta t gli angoli richiesti hanno ampiezza 3 π/4 e π/4, rispettivamente.Seconda parte:Indicando con x l’ampiezza degli angoli e e applicando il teorema dei seni ai triangoli CAB BAC = sen(π/4)/sen(3 π/4 -x) = r√2/(cosx + senx)→= sen(π/4)/sen(3π/4 -x) =r√2/(cosx - senx)→EQUAZIONE RISOLVENTE cosx +sen x +cos x –sen x =k(cos 2x – sen2x) →2cosx =2k cos 2x-k→2k cos 2x-2cosx –k=0 limitazioni dell’incognita 0≤x<π/4 Analisi dei casi-limite X=0→ ac e AD coincidono con ABLa relazione diventa r√2+r√2= kr√2→ k=2 X=π/4 la semiretta AD è parallela alla retta t e il punto D tende all’infinitoAC è perpendicolare a t ed ha lunghezza r ( dal triangolo rettangolo isoscele ABC)Il valore di k tende ad infinito DiscussionePonendo cos x = x e cos 2x=y si ottiene il sistema Y=x22ky-2x-k=0 fascio di rette k(2y-1)-2x=0 di centro P(0;1/2)√2/2 Estremi dell’arco di parabolaA(√2/2 ; ½) B(1;1)Rette limite :PA ovvero la retta y=1/2 che coincide con la retta esclusa e corrisponde ad un valore infinito di kPB retta PB che corrisponde al valore K =2 Risultato 1 soluzione per k ≥2
soluzione del compito di matematica del 14/04/07
COMPITO A SoluzionePer il teorema della corda = 2r sen (π/4 )= r√2, dove r è il raggio del cerchio.Poiché il raggio OB forma con la corda AB un angolo di π/4 e un angolo retto con la retta t gli angoli richiesti hanno ampiezza 3 π/4 e π/4, rispettivamente.Seconda parte:Indicando con x l’ampiezza degli angoli e e applicando il teorema dei seni ai triangoli CAB BAC = sen(π/4)/sen(3 π/4 -x) = r√2/(cosx + senx)→= sen(π/4)/sen(3π/4 -x) =r√2/(cosx - senx)→EQUAZIONE RISOLVENTE cosx +sen x +cos x –sen x =k(cos 2x – sen2x) →2cosx =2k cos 2x-k→2k cos 2x-2cosx –k=0 limitazioni dell’incognita 0≤x<π/4 Analisi dei casi-limite X=0→ ac e AD coincidono con ABLa relazione diventa r√2+r√2= kr√2→ k=2 X=π/4 la semiretta AD è parallela alla retta t e il punto D tende all’infinitoAC è perpendicolare a t ed ha lunghezza r ( dal triangolo rettangolo isoscele ABC)Il valore di k tende ad infinito DiscussionePonendo cos x = x e cos 2x=y si ottiene il sistema Y=x22ky-2x-k=0 fascio di rette k(2y-1)-2x=0 di centro P(0;1/2)√2/2 Estremi dell’arco di parabolaA(√2/2 ; ½) B(1;1)Rette limite :PA ovvero la retta y=1/2 che coincide con la retta esclusa e corrisponde ad un valore infinito di kPB retta PB che corrisponde al valore K =2 Risultato 1 soluzione per k ≥2