Un fascio di protoni inizialmente in quiete viene accelerato tramite una d.d.p. (differenza di potenziale) DV = 1000 V ed entra in una regione di spazio ove è presente un campo di induzione magnetica B = 0.1 T uniforme (vedi figura). Calcolare il raggio della traiettoria circolare percorsa all'interno della regione di campo magnetico e le coordinate del punto di uscita.Soluzione.All'esterno della zona di campo magnetico è presente un generatore di tensione formato da due piastre metalliche (una delle quali forata), in modo da accelerare i protoni inizialmente fermi e farli entrare attraverso i fori con una certa velocità v nella regione di campo magnetico B. I protoni si trovano inizialmente immersi in un campo elettrico dovuto alla d.d.p. DV presente tra le piastre metalliche del generatore di tensione. Sia A il punto di partenza (con velocità nulla) e C il punto di ingresso nella regione di campo magnetico. Il punto C è quindi il punto nel quale dobbiamo calcolare la velocità di ingresso dei protoni. Dal teorema dell'energia cinetica si ha cheL(A --> C) = Ec(C) - Ec(A)L(A --> C) = Ec(C) [poichè Ec(A) = 0 per ipotesi]ma il lavoro è L = q DV [lavoro della forza elettrostatica]quindiq DV = 1/2 m v2dove q è la carica del protoneDV è la d.d.p. tra le piastre del generatore di tensionem è la massa del protonev la velocità nel punto C (punto di ingresso nella zona con campo magnetico B).Dalla formula di prima troviamov = √ (2 q DV / m)A questo punto i protoni entrano nella zona di campo magnetico, il quale è diretto perpendicolarmente alla traiettoria d'ingresso ed ha verso uscente dal piano del foglio.Essi risentono della Forza di Lorentz data dalla formula FL = q v x B(in grassetto sono rappresentate quantità vettoriali)il prodotto vettoriale ha modulo qvB in quanto i vettori v e B sono tra loro ortogonali, quindiFL = q v BNota: grazie alla regola delle tre dita possiamo notare come la direzione del vettore FL sia sempre a destra della traiettoria e perpendicolare ad essa. ne risulta quindi una forza centrale e di conseguenza una traiettoria complessiva di forma circolare con raggio R.R viene chiamato raggio di Larmor (o di ciclotrone).Percorrendo una traiettoria circolare i protoni avranno accelerazione centripeta e dal secondo principio della dinamica:FL = m ama = m v2 / RquindiFL = m v2 / Rq v B = m v2 / RR = m v / q BSe sostituiamo l'espressione trovata prima per v si haR = (m / q B) √ (2 q DV / m ) =√ (2m DV / q B2) = 4.5 cmm = 10-27 kg; q = 10-19 C; DV = 1000V; B = 0.1 T.Se fissiamo l'origine degli assi cartesiani nel punto di ingresso (punto C) allora il punto di uscita D (vedi fig.) avrà coordinateD = (0; - 2R).
Esercizio sulla Forza di Lorentz (raggio di Larmor)
Un fascio di protoni inizialmente in quiete viene accelerato tramite una d.d.p. (differenza di potenziale) DV = 1000 V ed entra in una regione di spazio ove è presente un campo di induzione magnetica B = 0.1 T uniforme (vedi figura). Calcolare il raggio della traiettoria circolare percorsa all'interno della regione di campo magnetico e le coordinate del punto di uscita.Soluzione.All'esterno della zona di campo magnetico è presente un generatore di tensione formato da due piastre metalliche (una delle quali forata), in modo da accelerare i protoni inizialmente fermi e farli entrare attraverso i fori con una certa velocità v nella regione di campo magnetico B. I protoni si trovano inizialmente immersi in un campo elettrico dovuto alla d.d.p. DV presente tra le piastre metalliche del generatore di tensione. Sia A il punto di partenza (con velocità nulla) e C il punto di ingresso nella regione di campo magnetico. Il punto C è quindi il punto nel quale dobbiamo calcolare la velocità di ingresso dei protoni. Dal teorema dell'energia cinetica si ha cheL(A --> C) = Ec(C) - Ec(A)L(A --> C) = Ec(C) [poichè Ec(A) = 0 per ipotesi]ma il lavoro è L = q DV [lavoro della forza elettrostatica]quindiq DV = 1/2 m v2dove q è la carica del protoneDV è la d.d.p. tra le piastre del generatore di tensionem è la massa del protonev la velocità nel punto C (punto di ingresso nella zona con campo magnetico B).Dalla formula di prima troviamov = √ (2 q DV / m)A questo punto i protoni entrano nella zona di campo magnetico, il quale è diretto perpendicolarmente alla traiettoria d'ingresso ed ha verso uscente dal piano del foglio.Essi risentono della Forza di Lorentz data dalla formula FL = q v x B(in grassetto sono rappresentate quantità vettoriali)il prodotto vettoriale ha modulo qvB in quanto i vettori v e B sono tra loro ortogonali, quindiFL = q v BNota: grazie alla regola delle tre dita possiamo notare come la direzione del vettore FL sia sempre a destra della traiettoria e perpendicolare ad essa. ne risulta quindi una forza centrale e di conseguenza una traiettoria complessiva di forma circolare con raggio R.R viene chiamato raggio di Larmor (o di ciclotrone).Percorrendo una traiettoria circolare i protoni avranno accelerazione centripeta e dal secondo principio della dinamica:FL = m ama = m v2 / RquindiFL = m v2 / Rq v B = m v2 / RR = m v / q BSe sostituiamo l'espressione trovata prima per v si haR = (m / q B) √ (2 q DV / m ) =√ (2m DV / q B2) = 4.5 cmm = 10-27 kg; q = 10-19 C; DV = 1000V; B = 0.1 T.Se fissiamo l'origine degli assi cartesiani nel punto di ingresso (punto C) allora il punto di uscita D (vedi fig.) avrà coordinateD = (0; - 2R).