Supponiamo di avere un piano inclinato liscio sul quale possa scorrere senza attrito una biglia metallica. Alla base del piano sia posta in verticale una guida circolare priva di attrito di raggio R = 40 cm (vedi figura).Da quale altezza H sul piano inclinato deve partire la biglia per poter percorrere un giro completo nella guida circolare?Soluzione.Questo tipo di problema può essere risolto con la legge di conservazione dell'energia meccanica, in quanto l'unica forza in gioco (responsabile del moto della biglia) è la forza peso che è conservativa e non sono presenti attriti vari. Cominciamo col calcolare la velocità alla base del piano inclinato supponendo di porre la biglia ad un'altezza generica H:nel punto A (segnato in figura) abbiamoenergia potenziale Ep(A) = mgHenergia cinetica Ec(A) = 0 --> la biglia parte da ferma!nel punto B (segnato in figura) abbiamo:energia potenziale Ep(B) = 0 --> siamo al suolo!energia cinetica Ec(B) = ½ m V B2 allora dalla conservazione dell'energia meccanica (somma di En cinetica ed En potenziale) si avrà :Ep(A) + Ec(A) = Ep(B) + Ec(B)mgH = ½ m V B2 ora eliminando m e moltiplicando per 2 in ambo i membri dell'ultima uguaglianza, otteniamoV B2 = 2gH ed estraendo radice di ambo i membri trovo la velocità di arrivo al suolo:V B = √ (2gH) --> un risultato ben noto!VB è ora la velocità di ingresso nella ruota verticale, anch'essa priva di attrito. Possiamo ancora usare la conservazione dell'energia meccanica, ma prima va fatta una considerazione.Affinche la biglia giunga nel punto più alto del cerchio (altezza 2R dal suolo), cioè il punto C (segnato in figura), essa in tale punto deve avere una velocità tale da non cadere in giù! Si tratta di un moto "circolare", quindi per poter mantenere la biglia sulla guida la "reazione" dovuta alla forza centrifuga (diretta verso l'alto) dovrà essere uguale alla forza peso (diretta verso il basso)m V C2 / R = m gdi nuovo eliminando m e portando R sopra a destra, trovo dopo aver estratto radice:V C = √ (gR)In sostanza questa è la velocità che "dovrebbe" possedere la biglia nel punto C per poter fare un giro completo!Allora adesso passiamo alla conservazione dell'energia meccanica tra i punti B e C, considerando tale velocità per l'energia cinetica in C:nel punto B (segnato in figura) abbiamoenergia potenziale Ep(B) = 0 --> siamo al suolo!energia cinetica Ec(B) = ½ m V B2 nel punto C (segnato in figura) abbiamo:energia potenziale Ep(C) = 2 m g R --> altezza dal suolo attuale = 2Renergia cinetica Ec(C) = ½ m V C2 allora dalla conservazione dell'energia meccanica (somma di En cinetica ed En potenziale) si avrà :Ep(B) + Ec(B) = Ep(C) + Ec(C)½ m V B2 = 2 m g R + ½ m V C2 possiamo cominciare a snellire l'equazione eliminando le masse e moltiplicando ambo i membri per 2V B2 = 4 g R + V C2 e se ora sostituiamo i valori trovati prima per VB e VC otteniamo:2 g H = 4 g R + g R ---> 2 g H = 5 g Rinfine eliminando g troviamo l'altezza "minima" richiesta dal problema:H = 5/2 R ---> H = 100 cm = 1 m.
Forza centripeta: Il cerchio della morte
Supponiamo di avere un piano inclinato liscio sul quale possa scorrere senza attrito una biglia metallica. Alla base del piano sia posta in verticale una guida circolare priva di attrito di raggio R = 40 cm (vedi figura).Da quale altezza H sul piano inclinato deve partire la biglia per poter percorrere un giro completo nella guida circolare?Soluzione.Questo tipo di problema può essere risolto con la legge di conservazione dell'energia meccanica, in quanto l'unica forza in gioco (responsabile del moto della biglia) è la forza peso che è conservativa e non sono presenti attriti vari. Cominciamo col calcolare la velocità alla base del piano inclinato supponendo di porre la biglia ad un'altezza generica H:nel punto A (segnato in figura) abbiamoenergia potenziale Ep(A) = mgHenergia cinetica Ec(A) = 0 --> la biglia parte da ferma!nel punto B (segnato in figura) abbiamo:energia potenziale Ep(B) = 0 --> siamo al suolo!energia cinetica Ec(B) = ½ m V B2 allora dalla conservazione dell'energia meccanica (somma di En cinetica ed En potenziale) si avrà :Ep(A) + Ec(A) = Ep(B) + Ec(B)mgH = ½ m V B2 ora eliminando m e moltiplicando per 2 in ambo i membri dell'ultima uguaglianza, otteniamoV B2 = 2gH ed estraendo radice di ambo i membri trovo la velocità di arrivo al suolo:V B = √ (2gH) --> un risultato ben noto!VB è ora la velocità di ingresso nella ruota verticale, anch'essa priva di attrito. Possiamo ancora usare la conservazione dell'energia meccanica, ma prima va fatta una considerazione.Affinche la biglia giunga nel punto più alto del cerchio (altezza 2R dal suolo), cioè il punto C (segnato in figura), essa in tale punto deve avere una velocità tale da non cadere in giù! Si tratta di un moto "circolare", quindi per poter mantenere la biglia sulla guida la "reazione" dovuta alla forza centrifuga (diretta verso l'alto) dovrà essere uguale alla forza peso (diretta verso il basso)m V C2 / R = m gdi nuovo eliminando m e portando R sopra a destra, trovo dopo aver estratto radice:V C = √ (gR)In sostanza questa è la velocità che "dovrebbe" possedere la biglia nel punto C per poter fare un giro completo!Allora adesso passiamo alla conservazione dell'energia meccanica tra i punti B e C, considerando tale velocità per l'energia cinetica in C:nel punto B (segnato in figura) abbiamoenergia potenziale Ep(B) = 0 --> siamo al suolo!energia cinetica Ec(B) = ½ m V B2 nel punto C (segnato in figura) abbiamo:energia potenziale Ep(C) = 2 m g R --> altezza dal suolo attuale = 2Renergia cinetica Ec(C) = ½ m V C2 allora dalla conservazione dell'energia meccanica (somma di En cinetica ed En potenziale) si avrà :Ep(B) + Ec(B) = Ep(C) + Ec(C)½ m V B2 = 2 m g R + ½ m V C2 possiamo cominciare a snellire l'equazione eliminando le masse e moltiplicando ambo i membri per 2V B2 = 4 g R + V C2 e se ora sostituiamo i valori trovati prima per VB e VC otteniamo:2 g H = 4 g R + g R ---> 2 g H = 5 g Rinfine eliminando g troviamo l'altezza "minima" richiesta dal problema:H = 5/2 R ---> H = 100 cm = 1 m.