Consideriamo il moto di un oggetto che scivola, partendo da fermo da un'altezza h, lungo un piano inclinato di un angolo θ "teta" rispetto alsuolo.Tra il piano e l'oggetto è presente ATTRITO di coefficiente μ "mi".Trovare la velocità con cui l'oggetto arriva al suolo. SOLUZIONE.L'unica forza responsabile del moto in questo problema è la FORZA PESO Fp = Mg.Utilizzando il sistema di assi cartesiani indicato in figura, possiamo agevolmentestudiare il moto di quest'oggetto come un moto UNIFORMEMENTE ACCELERATOlungo l'ASSE X.Cominciamo scomponendo Fp nelle sue componenti CARTESIANE:Fpx = M g sin (θ)Fpy = - M g cos (θ)E' chiaro che il moto avviene LUNGO L'ASSE X, in quanto Fpy viene completamente annullata dalla REAZIONE VINCOLARE. Tuttavia la Fpy ci serve per calcolare il modulo della FORZA D'ATTRITO:Fa = - μ Fpy = - μ M g cos (θ) NOTA: il segno meno deriva dal fatto che la forza d'attrito è opposta al verso del moto.La forza totale (che agirà sull'oggetto) lungo l'asse X sarà allora:Ftot = Fpx + Fa = M g [ sin (θ) - μ cos (θ) ] = M g ANOTA: essendo tutti i numeri tra parentesi quadre costanti durante il moto, possiamo per comodità sostituirli con la costante A ( costante adimensionale).L'ACCELERAZIONE dell' oggetto sarà:a = Ftot / M = g AOra possiamo usare le leggi orarie del moto UNIFORM. ACCELERATO di un oggettoche parte da fermo e percorre una traiettoria rettilinea di lunghezza L dove L = h / sin (θ) (VEDI FIGURA) 1) s (t) = ½ g A t ² --- > spazio percorso dall'oggetto in funzione del tempo trascorso2) v(t) = g A t ----> velocità dell'oggetto in funzione del tempo trascorso Dopo un certo tempo "t" l'oggetto sarà arrivato al suolo, avrà quindi percorso tutto iltratto di lunghezza L, cioè:s (t) = L = ½ g A t ²da cui si ricava il tempo "t" trascorsot = √ [ 2 L / g A ] = √ [ 2 h / g A sin (θ) ]Se inseriamo questo tempo nell'equazione (2) troviamo la VELOCITA' di ARRIVO AL SUOLO:v = √ [ 2 g L A ] = √ 2 g h [ 1 - cotg (θ) ] NOTA: per trovare l'ultima espressione bisogna risostituireil valore di A = sin (θ) - μ cos (θ) poi bisogna sostituire il valore di L = h / sin (θ) e infine bisogna ricordare che la cotangente di θ è cotg (θ) = cos (θ) / sin (θ).
PIANO INCLINATO CON ATTRITO
Consideriamo il moto di un oggetto che scivola, partendo da fermo da un'altezza h, lungo un piano inclinato di un angolo θ "teta" rispetto alsuolo.Tra il piano e l'oggetto è presente ATTRITO di coefficiente μ "mi".Trovare la velocità con cui l'oggetto arriva al suolo. SOLUZIONE.L'unica forza responsabile del moto in questo problema è la FORZA PESO Fp = Mg.Utilizzando il sistema di assi cartesiani indicato in figura, possiamo agevolmentestudiare il moto di quest'oggetto come un moto UNIFORMEMENTE ACCELERATOlungo l'ASSE X.Cominciamo scomponendo Fp nelle sue componenti CARTESIANE:Fpx = M g sin (θ)Fpy = - M g cos (θ)E' chiaro che il moto avviene LUNGO L'ASSE X, in quanto Fpy viene completamente annullata dalla REAZIONE VINCOLARE. Tuttavia la Fpy ci serve per calcolare il modulo della FORZA D'ATTRITO:Fa = - μ Fpy = - μ M g cos (θ) NOTA: il segno meno deriva dal fatto che la forza d'attrito è opposta al verso del moto.La forza totale (che agirà sull'oggetto) lungo l'asse X sarà allora:Ftot = Fpx + Fa = M g [ sin (θ) - μ cos (θ) ] = M g ANOTA: essendo tutti i numeri tra parentesi quadre costanti durante il moto, possiamo per comodità sostituirli con la costante A ( costante adimensionale).L'ACCELERAZIONE dell' oggetto sarà:a = Ftot / M = g AOra possiamo usare le leggi orarie del moto UNIFORM. ACCELERATO di un oggettoche parte da fermo e percorre una traiettoria rettilinea di lunghezza L dove L = h / sin (θ) (VEDI FIGURA) 1) s (t) = ½ g A t ² --- > spazio percorso dall'oggetto in funzione del tempo trascorso2) v(t) = g A t ----> velocità dell'oggetto in funzione del tempo trascorso Dopo un certo tempo "t" l'oggetto sarà arrivato al suolo, avrà quindi percorso tutto iltratto di lunghezza L, cioè:s (t) = L = ½ g A t ²da cui si ricava il tempo "t" trascorsot = √ [ 2 L / g A ] = √ [ 2 h / g A sin (θ) ]Se inseriamo questo tempo nell'equazione (2) troviamo la VELOCITA' di ARRIVO AL SUOLO:v = √ [ 2 g L A ] = √ 2 g h [ 1 - cotg (θ) ] NOTA: per trovare l'ultima espressione bisogna risostituireil valore di A = sin (θ) - μ cos (θ) poi bisogna sostituire il valore di L = h / sin (θ) e infine bisogna ricordare che la cotangente di θ è cotg (θ) = cos (θ) / sin (θ).