Un oggetto parte con velocità iniziale v0 = 20 m/s dalla base di un piano inclinato di un angolo q = 45° (vedi figura) rispetto all'orizzontale e privo di attrito. Calcolare l'altezza H (rispetto al suolo) alla quale l'oggetto si fermerà.(Possiamo risolvere il problema in due modi)Soluzione 1) conservazione dell'energia meccanica.Poichè il piano è liscio, quindi è assente l'attrito, possiamo usare il principio di conservazione dell'energia meccanica per risolvere in modo semplice e veloce questo esercizio.Guardando in figura possiamo distinguere i due punti A e B in cui si trova l'oggetto rispettivamente nell'istante "iniziale" e "finale" della traiettoria (non considerando chiaramente il successivo moto di discesa dell'oggetto).Nel punto A l'energia meccanica sarà:EM (A) = Ec (A) + EP (A) = ½ m v02 + 0 --> l'energia potenziale vale zero poichè l'oggetto è al suoloNel punto B l'energia meccanica sarà:EM (B) = Ec (B) + EP (B) = 0 + m g H --> l'energia cinetica vale zero perchè l'oggetto si fermaUguagliando l'energia meccanica tra i punti A e B troviamo:EM (A) = EM (B) --> ½ m v02 = m g H --> ½ v02 = g H --> H = v02 /(2g) ≈ 20 mNota: dall'ultima formula si può ricavare v0 = √(2 g H) per cui se avessimo avuto H tra i dati del problema, avremmo potuto calcolare la velocità iniziale v0 senza difficoltà.Soluzione 2) leggi del moto rettilineo uniformemente ritardato. Assegnando un sistema di riferimento cartesiano con l'origine nel punto iniziale del moto e l'asse X parallelo al piano inclinato, possiamo notare che la componente lungo X della forza peso (vettore) è in direzione opposta al moto (puoi vedere la figura del post n°2 - Febbraio 2006) e vale:Fpx = - m g sin (q)dividendo la forza per la massa troviamo l'accelerazioneax = Fpx / m = - g sin (q)Lungo l'asso X avremo allora le due equazioni per la coordinata x e la velocità:1) x(t) = v0 t - ½ g t2 sin (q) 2) v(t) = v0 - g t sin (q)Quando l'oggetto si ferma abbiamo v(t) = 0 nell'equazione (2) quindi v0 - g t sin (q) = 0 v0 = g t sin (q) t = v0 / [g sin (q)]Questo tempo, necessario ad arrivare fino a quota H, inserito nell'equazione (1) ci da la lunghezza del tratto d (vedi figura):d = v02 / [2 g sin (q)]non dimentichiamoci però che nel triangolo formatosi, d è l'ipotenusa ed H è il cateto, per cui H = d sin (q) H = v02 sin (q) / [2 g sin (q)] H = v02 / (2 g ) ≈ 20 m.
energia meccanica: piano inclinato in salita
Un oggetto parte con velocità iniziale v0 = 20 m/s dalla base di un piano inclinato di un angolo q = 45° (vedi figura) rispetto all'orizzontale e privo di attrito. Calcolare l'altezza H (rispetto al suolo) alla quale l'oggetto si fermerà.(Possiamo risolvere il problema in due modi)Soluzione 1) conservazione dell'energia meccanica.Poichè il piano è liscio, quindi è assente l'attrito, possiamo usare il principio di conservazione dell'energia meccanica per risolvere in modo semplice e veloce questo esercizio.Guardando in figura possiamo distinguere i due punti A e B in cui si trova l'oggetto rispettivamente nell'istante "iniziale" e "finale" della traiettoria (non considerando chiaramente il successivo moto di discesa dell'oggetto).Nel punto A l'energia meccanica sarà:EM (A) = Ec (A) + EP (A) = ½ m v02 + 0 --> l'energia potenziale vale zero poichè l'oggetto è al suoloNel punto B l'energia meccanica sarà:EM (B) = Ec (B) + EP (B) = 0 + m g H --> l'energia cinetica vale zero perchè l'oggetto si fermaUguagliando l'energia meccanica tra i punti A e B troviamo:EM (A) = EM (B) --> ½ m v02 = m g H --> ½ v02 = g H --> H = v02 /(2g) ≈ 20 mNota: dall'ultima formula si può ricavare v0 = √(2 g H) per cui se avessimo avuto H tra i dati del problema, avremmo potuto calcolare la velocità iniziale v0 senza difficoltà.Soluzione 2) leggi del moto rettilineo uniformemente ritardato. Assegnando un sistema di riferimento cartesiano con l'origine nel punto iniziale del moto e l'asse X parallelo al piano inclinato, possiamo notare che la componente lungo X della forza peso (vettore) è in direzione opposta al moto (puoi vedere la figura del post n°2 - Febbraio 2006) e vale:Fpx = - m g sin (q)dividendo la forza per la massa troviamo l'accelerazioneax = Fpx / m = - g sin (q)Lungo l'asso X avremo allora le due equazioni per la coordinata x e la velocità:1) x(t) = v0 t - ½ g t2 sin (q) 2) v(t) = v0 - g t sin (q)Quando l'oggetto si ferma abbiamo v(t) = 0 nell'equazione (2) quindi v0 - g t sin (q) = 0 v0 = g t sin (q) t = v0 / [g sin (q)]Questo tempo, necessario ad arrivare fino a quota H, inserito nell'equazione (1) ci da la lunghezza del tratto d (vedi figura):d = v02 / [2 g sin (q)]non dimentichiamoci però che nel triangolo formatosi, d è l'ipotenusa ed H è il cateto, per cui H = d sin (q) H = v02 sin (q) / [2 g sin (q)] H = v02 / (2 g ) ≈ 20 m.