fisica facile

Supponiamo di avere un piano inclinato liscio sul quale possa scorrere senza attrito una biglia metallica. Alla base del piano sia posta in verticale una guida circolare priva di attrito di raggio R = 40 cm (vedi figura).
Da quale altezza H sul piano inclinato deve partire la biglia per poter percorrere un giro completo nella guida circolare?

Soluzione.
Questo tipo di problema può essere risolto con la legge di conservazione dell'energia meccanica, in quanto l'unica forza in gioco (responsabile del moto della biglia) è la forza peso che è conservativa e non sono presenti attriti vari.
Cominciamo col calcolare la velocità alla base del piano inclinato supponendo di porre la biglia ad un'altezza generica H:
nel punto A (segnato in figura) abbiamo

energia potenziale  E_p(A) = mgH
energia cinetica       E_c(A) =  0                 --> la biglia parte da ferma!

nel punto B (segnato in figura) abbiamo:

energia potenziale  E_p(B) = 0                  --> siamo al suolo!
energia cinetica       E_c(B) =  ½ m V _B²   

allora dalla conservazione dell'energia meccanica (somma di En cinetica ed En potenziale) si avrà :

E_p(A) + E_c(A) = E_p(B) + E_c(B)

mgH = ½ m V _B²

ora eliminando m e moltiplicando per 2 in ambo i membri dell'ultima uguaglianza, otteniamo

V _B² = 2gH   ed estraendo radice di ambo i membri trovo la velocità di arrivo al suolo:

V _B =  √ (2gH)            --> un risultato ben noto!

V_B è ora la velocità di ingresso nella ruota verticale, anch'essa priva di attrito. Possiamo ancora usare la conservazione dell'energia meccanica, ma prima va fatta una considerazione.
Affinche la biglia giunga nel punto più alto del cerchio (altezza 2R dal suolo), cioè il punto C (segnato in figura), essa in tale punto deve avere una velocità tale da non cadere in giù! 
Si tratta di un moto "circolare", quindi per poter mantenere la biglia sulla guida la "reazione" dovuta alla forza centrifuga (diretta verso l'alto) dovrà essere uguale alla forza peso (diretta verso il basso)

m V _C² / R  =  m g

di nuovo eliminando m e portando R sopra a destra, trovo dopo aver estratto radice:

V _C =  √ (gR)

In sostanza questa è la velocità che "dovrebbe" possedere la biglia nel punto C per poter fare un giro completo!
Allora adesso passiamo alla conservazione dell'energia meccanica tra i punti B e C, considerando tale velocità per l'energia cinetica in C:

nel punto B (segnato in figura) abbiamo

energia potenziale  E_p(B) = 0              --> siamo al suolo!

energia cinetica       E_c(B) =  ½ m V _B²                  

nel punto C (segnato in figura) abbiamo:

energia potenziale  E_p(C) = 2 m g R              --> altezza dal suolo attuale = 2R
energia cinetica       E_c(C) =  ½ m V _C²   

allora dalla conservazione dell'energia meccanica (somma di En cinetica ed En potenziale) si avrà :

E_p(B) + E_c(B) = E_p(C) + E_c(C)

½ m V _B²  =  2 m g R   +   ½ m V _C² 

possiamo cominciare a snellire l'equazione eliminando le masse e moltiplicando ambo i membri per 2

V _B²  =   4 g R  +  V _C² 

e se ora sostituiamo i valori trovati prima per V_B e  V_C  otteniamo:

2 g H  = 4 g R + g R       --->    2 g H  =  5 g R

infine eliminando g  troviamo l'altezza "minima"  richiesta dal problema:

H  = 5/2  R            --->  H = 100 cm  = 1 m.