fisica facile

Consideriamo il moto di un oggetto che scivola, partendo da fermo
da un'altezza h, lungo un piano inclinato di un angolo  θ "teta"  rispetto al
suolo.
Tra il piano e l'oggetto è presente ATTRITO di coefficiente  μ  "mi".
Trovare la velocità con cui l'oggetto arriva al suolo.

SOLUZIONE.
L'unica forza responsabile del moto in questo problema è la FORZA PESO Fp = Mg.
Utilizzando il sistema di assi cartesiani indicato in figura, possiamo agevolmente
studiare il moto di quest'oggetto come un moto UNIFORMEMENTE ACCELERATO
lungo l'ASSE X.
Cominciamo scomponendo Fp nelle sue componenti CARTESIANE:

Fpx = M g sin (θ)

Fpy = - M g cos (θ)

E' chiaro che il moto avviene LUNGO L'ASSE X, in quanto Fpy viene completamente
annullata dalla REAZIONE VINCOLARE.
Tuttavia la Fpy ci serve per calcolare il modulo della FORZA D'ATTRITO:

Fa = - μ Fpy = - μ M g cos (θ)

NOTA: il segno meno deriva dal fatto che la forza d'attrito è opposta al verso del moto.

La forza totale (che agirà sull'oggetto) lungo l'asse X sarà allora:

Ftot = Fpx + Fa = M g [ sin (θ) - μ cos (θ) ] = M g A

NOTA: essendo tutti i numeri tra parentesi quadre costanti durante il moto, possiamo
per comodità sostituirli con la costante A ( costante adimensionale).

L'ACCELERAZIONE dell' oggetto sarà:

a = Ftot / M = g A

Ora possiamo usare le leggi orarie del moto UNIFORM. ACCELERATO di un oggetto
che parte da fermo e percorre una traiettoria rettilinea di lunghezza L

dove L = h / sin (θ)          (VEDI FIGURA)


1) s (t) = ½ g A t ²   --- > spazio percorso dall'oggetto in funzione del tempo trascorso

2) v(t) = g A t           ----> velocità dell'oggetto in funzione del tempo trascorso


Dopo un certo tempo "t" l'oggetto sarà arrivato al suolo, avrà quindi percorso tutto il
tratto di lunghezza L, cioè:

s (t) = L = ½ g A t ²

da cui si ricava il tempo "t" trascorso

t = √ [ 2 L / g A ]     = √ [ 2 h / g A sin (θ) ]

Se inseriamo questo tempo nell'equazione (2) troviamo la VELOCITA' di ARRIVO AL SUOLO:


v =  √ [ 2 g L A ] =  √ 2 g h [ 1 - cotg (θ) ]

NOTA: per trovare l'ultima espressione bisogna risostituire
il valore di A = sin (θ) - μ cos (θ) poi bisogna sostituire
il valore di L = h / sin (θ)
e infine bisogna ricordare che la cotangente di  θ  è 
cotg (θ) = cos (θ) / sin (θ).