fisica facile

Un fascio di protoni inizialmente in quiete viene accelerato tramite una d.d.p. (differenza di potenziale) DV = 1000 V ed entra in una regione di spazio ove è presente un campo di induzione magnetica B = 0.1 T uniforme (vedi figura). Calcolare il raggio della traiettoria circolare percorsa all'interno della regione di campo magnetico e le coordinate del punto di uscita.

Soluzione.
All'esterno della zona di campo magnetico è presente un generatore di tensione formato da due piastre metalliche (una delle quali forata), in modo da accelerare i protoni inizialmente fermi e farli entrare attraverso i fori con una certa velocità v nella regione di campo magnetico B. I protoni si trovano inizialmente immersi in un campo elettrico dovuto alla d.d.p. DV presente tra le piastre metalliche del generatore di tensione. Sia A il punto di partenza (con velocità nulla) e C il punto di ingresso nella regione di campo magnetico. Il punto C è quindi il punto nel quale dobbiamo calcolare la velocità di ingresso dei protoni. Dal teorema dell'energia cinetica si ha che

L(A --> C) = E_c(C) - E_c(A)

L(A --> C) = E_c(C)   [poichè E_c(A) = 0 per ipotesi]

ma il lavoro è  L = q DV   [lavoro della forza elettrostatica]

quindi

q DV = 1/2 m v²

dove q è la carica del protone

DV è la d.d.p. tra le piastre del generatore di tensione

m è la massa del protone

v la velocità nel punto C (punto di ingresso nella zona con campo magnetico B).
Dalla formula di prima troviamo

v = √ (2 q DV / m)

A questo punto i protoni entrano nella zona di campo magnetico, il quale è diretto perpendicolarmente alla traiettoria d'ingresso ed ha verso uscente dal piano del foglio.

Essi risentono della Forza di Lorentz data dalla formula  F_L = q v x B

(in grassetto sono rappresentate quantità vettoriali)

il prodotto vettoriale ha modulo qvB in quanto i vettori v e B sono tra loro ortogonali, quindi

FL = q v B

Nota: grazie alla regola delle tre dita possiamo notare come la direzione del vettore F_L sia sempre a destra della traiettoria e perpendicolare ad essa. ne risulta quindi una forza centrale e di conseguenza una traiettoria complessiva di forma circolare con raggio R.
R viene chiamato raggio di Larmor (o di ciclotrone).

Percorrendo una traiettoria circolare i protoni avranno accelerazione centripeta e dal secondo principio della dinamica:

F_L = m a

ma = m v² / R

quindi

F_L = m v² / R

q v B = m v² / R

R = m v / q B

Se sostituiamo l'espressione trovata prima per v si ha

R = (m / q B)  √ (2 q DV / m )  =√ (2m DV / q B²) = 4.5 cm

m = 10^-27 kg;  q = 10^-19 C; DV = 1000V; B = 0.1 T.

Se fissiamo l'origine degli assi cartesiani nel punto di ingresso (punto C) allora il punto di uscita D (vedi fig.) avrà coordinate

D = (0; - 2R).

Un corpo di massa m=500 g, si trova, fermo, sulla sommità di un piano inclinato liscio di 45° rispetto all'orizzontale. Ad un certo istante viene lasciato libero di percorre sul piano una distanza di 20 m prima di entrare in una parte del piano scabra. Se il corpo si arresta dopo aver percorso altri 20 m sul piano inclinato scabro, calcolare quanto vale il coefficiente di attrito dinamico.

Soluzione.
Questo piano inclinato ha una parte liscia seguita da una parte scabra con attrito  m (che dobbiamo trovare).
Chiamiamo l il tratto percorso sulla parte liscia. Esso va dal punto (0) , punto di inizio del moto, al punto (1), punto di ingresso nella zona scabra. Il punto (2) poi corrisponde al momento in cui il corpo si ferma, sottoposto alla forza d'attrito dinamico che è contraria al verso del moto (decelerazione). La distanza tra i punti (1) e (2) è pure essa l.

Fissiamo l'asse X lungo il piano inclinato con verso a scendere. non è difficile vedere (figura) che il dislivello h tra i punti (0) ed (1) sia proprio h = l sin α
per cui la velocità di arrivo nel punti (1) sarà
v₁ = √ (2 g h) = √ (2 g l sin α)
Lungo la parte scabra possiamo applicare il teorema dell'energia cinetica, calcolando il lavoro svolto dalla forza totale lungo l'asse X nel tratto 1-2. Questo lavoro sarà uguale alla differenza tra l'energia cinetica nel punto 2 e l'energia cinetica nel punto 1.
La forza totale lungo l'asse X e data dalla somma della componente X della forza peso che è F_px = mg sin α, più la forza d'attrito F_a = - m N = - m mg cos α.
Quindi F_tot,x = mg (sin α - m cos α)
Il lavoro sul tratto 1-2 sarà il prodotto scalare della forza totale per lo spostamento l effettuato:
L(1 - 2) = F_tot,x • l = mg (sin α - m cos α) l 
che, per il teorema suddetto  sarà appunto uguale a
E_c(2) - E_c(1) = 0 - 1/2 m v₁², ricordate che nel punto 2 il corpo si ferma, quindi Ec = 0.
Quindi  m g l (sin α - m cos α) = - 1/2 m 2 g l sin α
Con un po di semplificazioni otteniamo:
sin α - m cos α = - sin α    
m cos α = 2 sin α   
m = 2 tg α = 2 tg 45° = 2.

Un cilindro di rame galleggia nel mercurio. Il cilindro è alto 8 cm e ha un diametro di base di 8 cm. La densità del rame è r_r  = 8.9 x 10³ kg/m³, mentre quella del mercurio è r_m = 13.6 x 10³ kg/m³.
Calcolare il volume della parte immersa e della parte emersa del cilindro.

Soluzione.
Se il cilindro galleggia significa che si trova in condizione di equilibrio, cioè la somma delle forze agenti sul cilindro è nulla. La somma della forza peso sul cilindro e della relativa spinta di Archimede è quindi uguale a zero:

F_p + F_ar = 0

Se scomponiamo questa equazione lungo l'asse verticale del sistema troviamo

F_p - F_ar = 0  ------------->>>  F_p = F_ar

dato che la forza peso e la forza di Archimede vanno in verso opposto. Inoltre sappiamo che  F_p = M g  dove M è la massa del cilindro di rame, ma siccome
r_r  = M / V  dove V è il volume del cilindro, allora M =  r_r  V  e quindi   Fp  = r_r  g V.
La forza di Archimede è invece pari al peso del fluido occupato dal volume immerso cioè

F_ar = r_m g V_i

dove V_i è il volume immerso (vedi figura).
All'equilibrio si ha

F_p = F_ar        -------->>     r_r g V  =  r_m  g V_i      -------->>      r_r V = r_m V_i

quindi il volume immerso sarà

V_i =  V  r_r / r_m

mentre il volume emerso sarà

V_e =  V  -  V_i

Ricordiamo inoltre che il volume totale del cilindro è dato dalla formula

V = p h D² /4 

Sostituendo i dati numerici si trova infine

V = 4 x 10^-4 m³

V_i = 2.6 x 10^-4 m³

V_e = 1.4 x 10^-4 m³.

Un automobile percorre una curva di raggio R = 20 m. Tra l'asfalto e i pneumatici è presente un attrito radente m = 0.8. Calcolare la velocità massima con la quale la vettura può imboccare la curva senza uscire di strada.

Soluzione.
Quando la vettura percorre la curva di raggio R si genera una forza centripeta che in modulo vale:

F _c = m v² / R

diretta appunto verso il centro della traiettoria circolare (vedi figura).

In questo caso la forza centripeta è data dall'attrito statico presente tra le gomme e l'asfalto.

Nota: In questo caso si parla di attrito radente, ed è perpendicolare alla direzione del moto; viceversa l'attrito volvente, cioè quello nella direzione di rotolamento della gomma, quindi parallelo al moto, viene qui trascurato.

Il modulo della forza d'attrito dipende dalla massa m della macchina, dal coefficiente d'attrito  m, e vale (sempre in modulo):

F_a = m M g

Dal secondo principio della dinamica  F = m a  abbiamo:

     m M g = M v² / R

da cui semplificando si ottiene la velocità cercata

v = √( m g R ) 

sostituendo i dati del problema si ha v = 12.5 m/s   (g = 9.81 m/s²)
Questa è la massima velocità con cui la macchina può affrontare la curva; se la velocità aumentasse la forza d'attrito statico tra gomme e asfalto non basterebbe più a mantenere la macchina su una traiettoria curva.

Un secchio è riempito d'acqua fino ad un'altezza h dal fondo, in prossimità del quale viene praticato un foro. Calcolare la velocità di fuoriuscita del getto d'aqua nei pressi del foro.

Soluzione
Si può risolvere questo esercizio utilizzando l'equazione di Bernoulli tra i punti 1 e 2 (vedi figura).

p₁ + ½ r v₁² + r g h₁ = p₂ + ½ r v₂² + r g h₂

Il punto 1 si trova a pelo d'acqua ad un'altezza h dal foro e risente quindi della pressione atmosferica p₀. Inoltre nel punto 1 si può assumere che la velocità delle particelle di fluido sia prossima a zero; infatti dalla legge di conservazione della portata si ha

S₁ v₁ = S₂ v₂

dove S₁ e S₂ sono rispettivamente le superfici dell'acqua in alto e del foro

con  S₁ >> S₂     e quindi  v₂ >> v₁.

Nel punto 2 che approssimiamo ad un'altezza zero, il fluido esce all'esterno quindi anche li la pressione è atmosferica p₀.

In base a queste considerazioni riscriviamo l'equazione di Bernoulli così:

p₀ + r g h = p₀ + 1/2 r v ²

da cui si ottiene

v = √ 2 g h .

Una studentessa mi pone il seguente esercizio:

Per riuscire a spostare un blocco di acciaio pesante 10 kg, fermo su un tavolo in plexiglas, è necessaria una forza F = 80 N. calcolare il coefficiente di attrito statico tra il blocco ed il tavolo (m _s).

Soluzione.
Il blocco di massa M = 10 Kg è fermo su di un tavolo (vedi figura) sul quale è presente attrito. Scegliamo per prima cosa il verso dell asse X parallelo al piano del tavolo. Per riuscire a spostare il blocco è necessario imprimergli una forza F parallelamente al tavolo. La forza di attrito statico opporrà resistenza allo spostamento iniziale del blocco. Essa avrà quindi (come vettore) direzione uguale ad F lungo l'asse X, ma verso opposto , mentre il modulo sarà:

F_a = m _s M g

Ci vuole quindi una forza pari (o maggiore) ad F_a per riuscire a muovere il blocco.

Dai dati del problema si trova (sperimentalmente) che è necessaria una forza F = 80 Newton per spostare il blocco, allora questo vuol dire che si è verificata la condizione

F  =  F_a

F = m _s M g

da cui per formula inversa si ricava il coefficiente di attrito statico m _s

m _s =  F  / (M g)  = 80 / 100 = 0.8     (grandezza adimensionale!)

Un oggetto parte con velocità iniziale v₀ = 20 m/s dalla base di un piano inclinato di un angolo q = 45° (vedi figura) rispetto all'orizzontale e privo di attrito. Calcolare l'altezza H (rispetto al suolo) alla quale l'oggetto si fermerà.

(Possiamo risolvere il problema in due modi)

Soluzione 1) conservazione dell'energia meccanica.
Poichè il piano è liscio, quindi è assente l'attrito, possiamo usare il principio di conservazione dell'energia meccanica per risolvere in modo semplice e veloce questo esercizio.
Guardando in figura possiamo distinguere i due punti A e B in cui si trova l'oggetto rispettivamente nell'istante "iniziale" e "finale" della traiettoria (non considerando chiaramente il successivo moto di discesa dell'oggetto).

Nel punto A l'energia meccanica sarà:
E_M (A) = E_c (A) + E_P (A) = ½ m v₀² + 0     --> l'energia potenziale vale zero poichè l'oggetto è al suolo

Nel punto B l'energia meccanica sarà:
E_M (B) = E_c (B) + E_P (B) =   0 +  m g H    --> l'energia cinetica vale zero perchè l'oggetto si ferma

Uguagliando l'energia meccanica tra i punti A e B troviamo:

E_M (A) = E_M (B)       
          -->      ½ m v₀² = m g H      
                         -->       ½  v₀² =  g H  
                                      -->        H = v₀² /(2g)  ≈ 20 m

Nota: dall'ultima formula si può ricavare v₀ = √(2 g H) per cui se avessimo avuto H tra i dati del problema, avremmo potuto calcolare la velocità iniziale v₀ senza difficoltà.

Soluzione 2) leggi del moto rettilineo uniformemente ritardato.
Assegnando un sistema di riferimento cartesiano con l'origine nel punto iniziale del moto e l'asse X parallelo al piano inclinato, possiamo notare che la componente lungo X della forza peso (vettore) è in direzione opposta al moto (puoi vedere la figura del post n°2 - Febbraio 2006) e vale:

F_px = - m g sin (q)

dividendo la forza per la massa troviamo l'accelerazione

a_x = F_px / m = - g sin (q)

Lungo l'asso X avremo allora le due equazioni per la coordinata x  e la velocità:

Quando l'oggetto si ferma abbiamo v(t) = 0 nell'equazione (2) quindi 

v₀ - g t sin (q) = 0
                           v₀ = g t sin (q)
                                                  t = v₀ / [g  sin (q)]

Questo tempo, necessario ad arrivare fino a quota H, inserito nell'equazione (1) ci da la lunghezza del tratto d (vedi figura):

d = v₀² / [2 g  sin (q)]

non dimentichiamoci però che nel triangolo formatosi, d è l'ipotenusa ed H è il cateto, per cui 

H = d sin (q)
                      H = v₀² sin (q) / [2 g sin (q)]
                                                                      H = v₀² / (2 g )  ≈ 20 m.

 
Il record del mondo di lancio del giavellotto appartiene all'atleta Ceco Jan Železný che nel Maggio del 1996 raggiunse la distanza di ben 98,48 metri! Considerando trascurabile l'attrito dell'aria e l'influenza del vento sulla traiettoria, calcolare la velocità iniziale v₀ (in m/s) impressa al giavellotto dall'atleta per un angolo di lancio a = 45° rispetto al suolo.
Se invece supponiamo che la forza impressa dall'atleta nel lancio sia sempre costante e che  possa essere variato solo l'angolo, per quale valore di a si ottiene la gittata massima?

Soluzione.
Questo problema si può facilmente affrontare con le leggi del moto parabolico, possiamo immaginare un piano perpendicolare al suolo (un grande foglio) che contenga il lanciatore stesso, la traiettoria ed il punto di impatto del giavellotto.
Per prima cosa assegniamo un sistema di riferimento cartesiano che combaci proprio col piano di cui parlavamo ed in cui l'origine sia nella posizione del lanciatore all'istante iniziale e l'asse delle X sia parallelo al terreno (vedi figura). Le equazioni che ci servono per questo tipo di moto sono quattro: 

1. coordinata x = velocità lungo x per tempo

2. coordinata y = velocità lungo y per tempo, “meno” un fattore dovuto all'accelerazione di gravità moltiplicato per il tempo al quadrato

3. velocità lungo x = modulo della velocità iniziale v₀ per il coseno dell'angolo a

4. velocità lungo y = modulo della velocità iniziale v₀ per il seno dell'angolo a “meno” un fattore dovuto all'accelerazione di gravità moltiplicato per il tempo

come si vede tutti e quattro questi parametri sono funzioni esplicite del tempo e le componenti x non dipendono da g.
Dal momento in cui lascia la mano dell'atleta il giavellotto risente solo della forza peso e quindi dell'accelerazione di gravità, la quale ovviamente sarà diretta verso il basso [ vettore g = (0: - g) ], per cui

 x(t) = v₀ cos (a) t           y(t) = v₀ sin (a) t - ½ g t ²

v_x(t) = v₀ cos (a)            v_y(t) = v₀ sin(a) -g t

Per trovare la gittata cioè la distanza coperta dal giavellotto prima di cadere al suolo possiamo usare la seconda equazione “imponendo” y(t) = 0, in questo modo troviamo il tempo necessario a percorrere tutta la traiettoria fino al momento dell'impatto al suolo:

 ½ g t ² – v₀ sin (a) t = 0   “ho cambiato tutti i segni dell'equazione 2”

 ½ g t – v₀ sin (a) = 0        “ho diviso ambo i membri per t”

 t = (2 v₀ /g ) sin (a)          “isolo la variabile t”

quest'ultimo è quindi il tempo di arrivo al suolo. Se lo inseriamo nella prima equazione, quella della coordinata x(t), troveremo la distanza coperta dal giavellotto, cioè la gittata:

x(t) =  v₀ cos (a) (2 v₀ /g ) sin (a)  =  (2 v₀ ² /g ) sin (a) cos (a)

L = (2 v₀ ² /g ) sin (a) cos (a)                 > gittata <

Dai dati del problema conosciamo a ed L ma ci manca v₀, possiamo perciò sfruttare una formula inversa:

 v₀ ² = g L / (2 sin (a) cos (a) ) → v₀ = √ {g L / [2 sin (a) cos (a) ])}

sostituendo i valori numerici si trova v₀ = 31,1 m/s    (circa 110 Km/h)

Per calcolare l'angolo di lancio iniziale che dia valore massimo alla gittata bisogna considerare quest'ultima come una funzione della sola variabile a :

 L (a) = (2 v₀ ² /g ) sin (a) cos (a)

con v₀ e g costanti. I teoremi fondamentali dell'Analisi ci dicono che se calcoliamo la derivata prima di L rispetto ad a e la poniamo uguale a zero troveremo il punto (o i punti) di massimo e di minimo di tale funzione:

L ' (a) = 0 → (2 v₀ ² /g ) [ cos²(a) - sin²(a) ] = 0 →

→ cos²(a) - sin²(a) = 0 → cos²(a) = sin²(a) →    a =  p/4   ±  1/2 k p      k = 0, 1, 2, ...

Quindi l'angolo di 45° “massimizza” la funzione gittata.

Siano date tre cariche elettriche Q₁ Q₂ Q₃  fisse ai vertici di un quadrato di lato L (vedi figura). Siano Q₁ e Q₃ uguali e positive, con carica Q = 0,707 mC (1/√2 mC).
Determinare il segno e la carica che deve possedere Q₂ affinchè nel punto P (vertice libero del quadrato) il campo elettrico totale generato dalle cariche sia nullo.

Soluzione.
Ogni carica Q_i in questo problema agirà sul punto P producendo un campo elettrico E_i nel senso che

Q₁ (positivo)
produce un campo elettrico E₁ (applicato in P)
nella direzione del segmento Q₁P e verso ad allontanarsi da Q₁
il modulo di E₁ lo otteniamo dalla legge di Coulomb   E₁ = k Q₁ / L²

Q₃ (positivo)
produce un campo elettrico E₃ (applicato in P)
nella direzione del segmento Q₃P e verso ad allontanarsi da Q₃
il modulo di E₃ lo otteniamo dalla legge di Coulomb   E₃ = k Q₃ / L²

 Q₂ (da calcolare) per rendere nullo E_tot (P)  
produce un campo elettrico E₂ (applicato in P)
nella direzione del segmento Q₂P (diagonale del quadrato) e verso da calcolare
il modulo di E₂ lo otteniamo dalla legge di Coulomb   E₂ = k Q₂ / (L√2)² = k Q₂ / 2L²

Il campo elettrico totale sarà dato dalla somma di tutti e tre i contributi cioe
E_tot = E₁ + E₂ + E₃ , ma in pratica noi possiamo cominciare a sommare i due campi positivi E₁ ed E₃ di cui siamo sicuri. Se osserviamo la figura si nota che la somma di E₁ ed E₃ è proprio la diagonale del quadrato che essi formano sotto il punto P. Se il lato del quadrato vale E, la diagonale è E√2. Quindi

 E₊ = E₁ + E₃ = E √2 = (k Q / L²) ∙ √2  =  k Q √2  / L²

Affinchè il campo totale in P sia nullo, E₂ dovrà essere uguale in modulo a E₊
e dovrà essere diretto in senso contrario (cioè avvicinarsi verso Q₂).
Quindi Q₂ dovrà essere di segno negativo (linee di forza entranti nella carica) e il modulo dovrà valere

 E₂  =  E₊    ---->   k Q₂  / 2 L²  =  k Q √2  / L²

eliminando L² e k da entrambi i membri dell'equazione troviamo che

Q₂   =   Q   ∙  2 √2  =   1/√2 mC  ∙  2 √2 = 2 mC .

Rispondo ad una studentessa che chiede informazioni circa il lavoro prodotto dalle forze che agiscono su un oggetto che scivola lungo  un tratto S su di un piano inclinato, in presenza di attrito.
Il lavoro prodotto da una forza è in generale

L = F · S        F e S sono vettori (in neretto)

dove  " · " è il simbolo del prodotto scalare che può essere scritto così

L = F S cos (α)

 "a" è l'angolo compreso tra F e S

Nel caso del piano incl. (aiutandoci con la figura del problema pubblicato il 26 febbraio 2006 sul blog) calcoliamo

lavoro forza normale      L_N =  F_N  · S  = M g cos (q)  S  cos (α) = 
                                                            = M g cos (q)  S  cos (90) =  0

 lavoro forza d'attrito      L_A =  F_A  · S  =   μ  M g cos (q)  S  cos (α)   =
                                                            =   μ  M g cos (q)  S  cos (180) = 
                                                                                = - μ  M g S cos (q)   

 lavoro forza di gravità   L_g  =  F_g  · S   =   M g S  cos (a)  =  
                                                            =   M g S  cos (90 - θ) = 
                                                            =   M g S  sin (θ)

S è lo spazio percorso sul piano inclinato
θ è l'angolo di inclinazione del piano rispetto al suolo.
Notiamo inoltre che il lavoro dovuto alla componente della forza peso "normale" (perpendicolare) al piano inclinato è uguale a zero. Questo è vero sempre per forze perpendicolari allo spostamento effettuato,  ad esempio il lavoro svolto per portare una valigia a mano.

Ora calcoliamo la variazione di energia meccanica del "sistema oggetto" lungo il tratto S.
Per prima cosa ricordo che l'energia meccanica di un sistema fisico in un punto e ad un istante dato è data dalla somma di energia cinetica ed energia potenziale che il sistema assume in quel punto ed in quel istante, quindi in un punto A si avrà:

E _c(A) + E_p (A) = E_M (A)

L'energia meccanica viene anche chiamata Energia Totale del sistema.
Il teorema di conservazione dell'energia meccanica dice che se sul sistema agiranno solo forze CONSERVATIVE allora l'energia meccanica si conserverà, cioè resterà COSTANTE. Si intuisce quindi che in un sistema dove agisca solo la forza peso, ad esempio, non vi sia una variazione di Energia Meccanica. Viceversa nel piano inclinato in esame, è presente attrito che di per se NON E' forza conservativa, quindi l'energia meccanica NON sarà più costante.
La variazione di energia meccanica sarà proprio uguale al lavoro speso sul sistema dalla FORZA D'ATTRITO (sotto forma di calore trasmesso ai corpi che strisciano uno sull'altro). In formule:

D E_M = - μ M g S cos (q)   

Nei prossimi approfondimenti dimostreremo l'ultima formula con dei semplici passaggi matematici.

 Una molla di costante elastica k è posta orizzontalmente su di un tavolo liscio, fissata da un lato. All'altro lato della molla è attaccato un corpo di massa m. Il piano del tavolo è ad un'altezza h dal pavimento (vedi figura). Inizialmente la molla è compressa di un tratto Δx e ad un certo istante viene lasciata libera di espandersi. Calcolare la distanza dal tavolo di impatto sul pavimento.

Soluzione.
In questo problema possiamo trascurare l'attrito sul tavolo (liscio) e l'attrito dell'aria, per cui possiamo in una prima fase di svolgimento utilizzare il teorema di conservazione dell'energia meccanica per l'oggetto attaccato alla molla. Sono due gli "istanti" da tenere in considerazione:

punto A (figura) in cui la molla è compressa e l'oggetto vi è attaccato

punto B (figura) in cui la molla si è espansa e l'oggetto si è appena staccato.

E_c(A) + E_p(A) = E_c(B) + E_P(B)

Nota: ricordo che l'energia meccanica  (o totale) di un sistema qualsiasi in un punto dello spazio, è data dalla somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale del sistema in quel punto.

L'energia cinetica dell'oggetto nel punto A è chiaramente nulla, essendo esso fermo. Viceversa la molla darà un contributo "massimo" di energia potenziale in A, dato da

E_p (A) = ½ k (Δx)²  

quindi   E_p (A) = ½ k (Δx)²    ,    E_c (A) = 0         (1)

L'energia potenziale dell'oggetto nel punto B sarà nulla (l'oggetto si è appena staccato dalla molla). Viceversa l'energia cinetica dell'oggetto in B sarà "massima" e dobbiamo ricavarla utilizzando comunque la formula generale

E_c = ½ m v²

quindi   E_c (B) = ½ m v²    ,    E_p (B) = 0        (2)

Sommando rispettivamente i contributi in (1) ed in (2) e poi uguagliandoli si ottiene:

½ k (Δx)² = ½ m v²

eliminando ½ da ambo i membri di questa equazione, dividendo per m ed estraendo radice troviamo

v =  Δx √ (k/m)                            (*)

v è la velocità dell'oggetto dopo aver abbandonato la molla. Questa velocità sarà mantenuta dall'oggetto fino all'orlo del tavolo (liscio quindi senza attrito). v è in sostanza la velocità con la quale l'oggetto affronta il moto di caduta dal tavolo.
All'istante in cui l'oggetto si trova sull'orlo del tavolo, la sua velocità è parallela al pavimento (orizzontale). Possiamo studiare la traiettoria con le leggi del moto PARABOLICO.
Se fissiamo l'origine degli assi cartesiani ai piedi del tavolo (vedi figura), le quattro equazioni per le coordinate e le componenti della velocità del corpo saranno:

x(t) = v t                    v_x(t) = v

y(t) = h - ½ g t²         v_y(t) = - g t

Se vogliamo calcolare la distanza di impatto al suolo bisogna trovare prima il "tempo" necessario ad arrivare al suolo, quindi sostituirlo in x(t).
L'unico modo di trovare questo tempo che chiameremo t_f è di porre

y(t_f)= 0

questa "condizione" è molto importante perchè ci dice che nell'istante in cui l'oggetto tocca il pavimento la sua altezza da terra y(t)  è uguale a zero, inoltre in questo momento l'oggetto ha raggiunto anche la massima distanza dal tavolo x(t_f) che è il valore da trovare.

y(t_f)= 0  --->     h - ½ g t_f ² = 0   --->      t_f = √ (2h/g)

Come detto prima la distanza dal tavolo (che chiameremo D) si trova inserendo t_f nella prima equazione del moto parabolico e utilizzando per la velocità v l'equazione (*)

D =   Δx   √ (2kh / mg )

In una vasca sono contenuti inizialmente 30 litri d'acqua alla temperatura di 70°C.
Calcolare quanti litri d'acqua alla temperatura di 18°C bisogna versare nella vasca per portare la temperatura finale del sistema a 30°C.

Soluzione:
Chiamiamo  T_E = 30°C la temperatura di equilibrio del sistema
                   T₁ = 70°C  la temperatura iniziale della massa d'acqua M₁
                   T₂ = 18°C  la temperatura iniziale della massa d'acqua M₂
                   M₁= 30 L
                   M₂ = massa d'acqua da aggiungere (incognita)

La quantità di calore assorbito dalla massa d'acqua M₂ (più fredda) deve essere uguale alla quantità di calore ceduto dalla massa d'acqua M₁(più calda) cioè

ΔQ₂ = -ΔQ₁         

NOTA: il segno - indica che il calore è "ceduto", mentre il segno + indica che il calore è "assorbito".
Per trovare il calore abbiamo bisogno della massa M dell'acqua e del calore specifico dell'acqua c_s

ΔQ = c_sM ΔT   

ΔT è la variazione di temperatura dallo stato iniziale a  quello di equilibrio.

c_s M₂ (T_E - T₂) = - c_s M₁ (T_E - T₁)

adesso eliminando c_s da ambo i membri e risolvendo per M₂ si ottiene:

 M₂ = - M₁ (T_E - T₁) / (T_E - T₂)

M₂ = - 30 Kg (30 - 70) °C / (30 - 18) °C  = 100 Kg = 100 L

Nota 2: nell'ultima formula bisogna tener presente che la densità dell'acqua è di 1 Kg/litro.

Supponiamo di avere un piano inclinato liscio sul quale possa scorrere senza attrito una biglia metallica. Alla base del piano sia posta in verticale una guida circolare priva di attrito di raggio R = 40 cm (vedi figura).
Da quale altezza H sul piano inclinato deve partire la biglia per poter percorrere un giro completo nella guida circolare?

Soluzione.
Questo tipo di problema può essere risolto con la legge di conservazione dell'energia meccanica, in quanto l'unica forza in gioco (responsabile del moto della biglia) è la forza peso che è conservativa e non sono presenti attriti vari.
Cominciamo col calcolare la velocità alla base del piano inclinato supponendo di porre la biglia ad un'altezza generica H:
nel punto A (segnato in figura) abbiamo

energia potenziale  E_p(A) = mgH
energia cinetica       E_c(A) =  0                 --> la biglia parte da ferma!

nel punto B (segnato in figura) abbiamo:

energia potenziale  E_p(B) = 0                  --> siamo al suolo!
energia cinetica       E_c(B) =  ½ m V _B²   

allora dalla conservazione dell'energia meccanica (somma di En cinetica ed En potenziale) si avrà :

E_p(A) + E_c(A) = E_p(B) + E_c(B)

mgH = ½ m V _B²

ora eliminando m e moltiplicando per 2 in ambo i membri dell'ultima uguaglianza, otteniamo

V _B² = 2gH   ed estraendo radice di ambo i membri trovo la velocità di arrivo al suolo:

V _B =  √ (2gH)            --> un risultato ben noto!

V_B è ora la velocità di ingresso nella ruota verticale, anch'essa priva di attrito. Possiamo ancora usare la conservazione dell'energia meccanica, ma prima va fatta una considerazione.
Affinche la biglia giunga nel punto più alto del cerchio (altezza 2R dal suolo), cioè il punto C (segnato in figura), essa in tale punto deve avere una velocità tale da non cadere in giù! 
Si tratta di un moto "circolare", quindi per poter mantenere la biglia sulla guida la "reazione" dovuta alla forza centrifuga (diretta verso l'alto) dovrà essere uguale alla forza peso (diretta verso il basso)

m V _C² / R  =  m g

di nuovo eliminando m e portando R sopra a destra, trovo dopo aver estratto radice:

V _C =  √ (gR)

In sostanza questa è la velocità che "dovrebbe" possedere la biglia nel punto C per poter fare un giro completo!
Allora adesso passiamo alla conservazione dell'energia meccanica tra i punti B e C, considerando tale velocità per l'energia cinetica in C:

nel punto B (segnato in figura) abbiamo

energia potenziale  E_p(B) = 0              --> siamo al suolo!

energia cinetica       E_c(B) =  ½ m V _B²                  

nel punto C (segnato in figura) abbiamo:

energia potenziale  E_p(C) = 2 m g R              --> altezza dal suolo attuale = 2R
energia cinetica       E_c(C) =  ½ m V _C²   

allora dalla conservazione dell'energia meccanica (somma di En cinetica ed En potenziale) si avrà :

E_p(B) + E_c(B) = E_p(C) + E_c(C)

½ m V _B²  =  2 m g R   +   ½ m V _C² 

possiamo cominciare a snellire l'equazione eliminando le masse e moltiplicando ambo i membri per 2

V _B²  =   4 g R  +  V _C² 

e se ora sostituiamo i valori trovati prima per V_B e  V_C  otteniamo:

2 g H  = 4 g R + g R       --->    2 g H  =  5 g R

infine eliminando g  troviamo l'altezza "minima"  richiesta dal problema:

H  = 5/2  R            --->  H = 100 cm  = 1 m.

Supponiamo di avere una lastra infinita piana sulla quale sia presente una densità uniforme di carica s. Supponiamo poi che un filo inestensibile di lunghezza L sia fissato da una estremita al piano verticale e dall'altra estremità ad una sferetta di massa M e carica complessiva Q. Quanto varrà l'angolo θ (teta) formato dal piano e dal filo all'equilibrio?

Affinchè vi sia equilibrio, cioè la sferetta rimanga immobile, sospesa ad una certa distanza dal piano, si deve verificare che la somma vettoriale di tutte le forze agenti sulla pallina debba valere zero, cioè:

F_p + F_e = 0

Scomponiamo questa equazione vettoriale lungo gli assi indicati in figura (scelti opportunamente):

F_px + F_ex = 0

F_py + F_ey + T = 0

(T è la reazione vincolare esercitata dal filo)
L'equanzione per l'asse Y non ci serve. Infatti è ovvio che lungo l'asse Y così scelto non c'è movimento, altrimenti vorrebbe significare estensibilità o rottura del filo!
Ci interessa invece l'equazione per l'asse X:

F_P sin (θ) - F_e cos (θ) = 0              (*)

F_P è la forza peso agente sulla sferetta
F_e è la forza elettrostatica prodotta dal piano sulla sferetta stessa

F_p = M g          F_e = Q E      

dove   E = s / (2 e₀)   è il campo elettrico generato dal piano infinito in un qualunque punto nelle sue vicinanze (non vi è dipendenza dalla distanza).
e₀ è la costante dielettrica del vuoto.
Sostituendo questi risultati nell'equazione  (*) otteniamo:

Mg sin (θ) - Q s cos (θ) / (2 e₀) = 0

dividiamo per cos (θ)

Mg tan (θ) = Q s / (2 e₀)

tan (θ) = Q s / (2Mge₀)

Ora per trovare l'angolo θ ci serve la funzione trigonometrica inversa della tangente

θ = arctan [ Q s / (2Mge₀)]

PROBLEMA:Consideriamo una molla di costante elastica k appesa ad un soffitto.La lunghezza a riposo della molla (cioè senza alcuna estensione ocompressione) sia X0. Questa situazione è schematizzata in figura(vedi parte 1)Ad un certo istante attacchiamo un oggetto di massa M alla molla.La FORZA PESO comincerà ad agire verso il basso, mentre la forzaelastica agirà verso l'alto (FORZA DI RICHIAMO). Quanto sarà l'allungamento della molla?SOLUZIONE.IL peso M scenderà verso il basso allungando la molla fin quandola forza elastica non avrà l'intensità necessaria per bilanciare la forza peso (CONDIZIONE DI EQUILIBRIO) (vedi figura - parte 2)La forza elastica ha espressione: Fe = - k ( X - X0 )NOTA: X è la posizione dell'oggetto al momento di equilibrio. Dallafigura si vede quindi che X >X0 e quindi Fe è NEGATIVA, cioè èrivolta verso l'alto! (forza di richiamo)Chiamiamo allora L = ( X - X0 ) l'allungamento della molla,allora la condizione di equilibrio fa IMPORRE che la SOMMAVETTORIALE di forza Peso e forza Elastica sia NULLA: Fe + Fp = 0 cioè - k L + M g = 0da cui si ottiene il risultato cercato: L = ( M g ) / kNOTA: ci si accorgerà che i segni "meno" dei risultati qui esposti dipendono dalla scelta del verso dell'ASSE X. Se si inverte il versodell'asse, si invertono anche i segni di Fe e Fp con identici risultati.

Consideriamo il moto di un oggetto che scivola, partendo da fermo
da un'altezza h, lungo un piano inclinato di un angolo  θ "teta"  rispetto al
suolo.
Tra il piano e l'oggetto è presente ATTRITO di coefficiente  μ  "mi".
Trovare la velocità con cui l'oggetto arriva al suolo.

SOLUZIONE.
L'unica forza responsabile del moto in questo problema è la FORZA PESO Fp = Mg.
Utilizzando il sistema di assi cartesiani indicato in figura, possiamo agevolmente
studiare il moto di quest'oggetto come un moto UNIFORMEMENTE ACCELERATO
lungo l'ASSE X.
Cominciamo scomponendo Fp nelle sue componenti CARTESIANE:

Fpx = M g sin (θ)

Fpy = - M g cos (θ)

E' chiaro che il moto avviene LUNGO L'ASSE X, in quanto Fpy viene completamente
annullata dalla REAZIONE VINCOLARE.
Tuttavia la Fpy ci serve per calcolare il modulo della FORZA D'ATTRITO:

Fa = - μ Fpy = - μ M g cos (θ)

NOTA: il segno meno deriva dal fatto che la forza d'attrito è opposta al verso del moto.

La forza totale (che agirà sull'oggetto) lungo l'asse X sarà allora:

Ftot = Fpx + Fa = M g [ sin (θ) - μ cos (θ) ] = M g A

NOTA: essendo tutti i numeri tra parentesi quadre costanti durante il moto, possiamo
per comodità sostituirli con la costante A ( costante adimensionale).

L'ACCELERAZIONE dell' oggetto sarà:

a = Ftot / M = g A

Ora possiamo usare le leggi orarie del moto UNIFORM. ACCELERATO di un oggetto
che parte da fermo e percorre una traiettoria rettilinea di lunghezza L

dove L = h / sin (θ)          (VEDI FIGURA)


1) s (t) = ½ g A t ²   --- > spazio percorso dall'oggetto in funzione del tempo trascorso

2) v(t) = g A t           ----> velocità dell'oggetto in funzione del tempo trascorso


Dopo un certo tempo "t" l'oggetto sarà arrivato al suolo, avrà quindi percorso tutto il
tratto di lunghezza L, cioè:

s (t) = L = ½ g A t ²

da cui si ricava il tempo "t" trascorso

t = √ [ 2 L / g A ]     = √ [ 2 h / g A sin (θ) ]

Se inseriamo questo tempo nell'equazione (2) troviamo la VELOCITA' di ARRIVO AL SUOLO:


v =  √ [ 2 g L A ] =  √ 2 g h [ 1 - cotg (θ) ]

NOTA: per trovare l'ultima espressione bisogna risostituire
il valore di A = sin (θ) - μ cos (θ) poi bisogna sostituire
il valore di L = h / sin (θ)
e infine bisogna ricordare che la cotangente di  θ  è 
cotg (θ) = cos (θ) / sin (θ).