Le geometrie non-euclidee nascono dunque dal supporre che il quinto postulato di Euclide sia falso. Bisogna dunque capire bene l'enunciato del suddetto postulato. Riportiamolo nella forma più nota:"Presa una retta ed un punto esterno ad essa, esiste una ed una sola retta, passante per il punto e parallela alla retta data"Una retta, ritraducendo la definizione euclidea in termini più accessibili, è la linea più corta che unisce due punti. In questo senso è più corretto chiamarle "Geodetiche". Due geodetiche si dicono parallele se non si intersecano.Dunque, assumere che il quinto pustulato di Euclide sia falso può significare due cose:1) presa una geodetica ed un punto esterno ad essa, non esistono geodetiche passanti per il punto che non intersechino la geodetica di partenza2) presa una geodetica ed un punto esterno ad essa, esistono infinite geodetiche che passano per il punto e non intersecano la retta di partenza.Un esempio imoportante e piuttosto semplice del primo caso è il seguente.Consideriamo come piano una superficie sferica. Non è una cosa azzardata e assurda come sembra. Innanzitutto Euclide non aveva mica detto che il piano dovesse essere per forza piatto, anzi. E poi, a pensarci bene, noi viviamo su una cosa che è quasi una superficie sferica... e allora perché non lavorare su un piano sìffatto? Dunque la nostra bella superficie sferica. Su una sfera, le geodetiche sono i cosìddetti cerchi massimi, ossia quelle circonferenze di raggio uguale al raggio della sfera. Considerate due di queste circonferenze, avranno sempre almeno due punti d'intersezione. Dunque non possono esserci geodetiche "parallele". In un mondo come questo, un triangolo, che è una figura geometrica il cui bordo è costituito di tre geodetiche, ha effettivamente - ed è relativamente facile calcolarlo - somma degli angoli interni maggiore di 180°... insomma: è la descrizione di una geometria non-euclidea, ma neanche lontanamente astratta e complicata come vogliono farci credere i nostri docenti delle scuole dell'obbligo...Per quanto riguarda il secondo caso, un esempio che descriva come funzionano le cose è leggermente più complicato e un decisamente meno vicino a cose già note. Proviamo ugualmente.Consideriamo come piano un cerchio. Definiamo una metrica (ossia un modo di calcolare le distanze) in modo tale che le geodetiche siano o i diametri o degli archi di circonferenza che intersecano ortogonalmente il bordo del cerchio (vedi foto). In questo mondo, se considero una geodetica ed un punto esterno ad essa, esistono infinite geodetiche che passano per il punto e non intersecano la geodetica di cui sopra. E' un po' meno facile calcolare la somma degli angoli interni di un triangolo. Fatto sta che, facendo il suddetto calcolo, si può vedere che è minore di 180°...
Geometrie non-euclidee
Le geometrie non-euclidee nascono dunque dal supporre che il quinto postulato di Euclide sia falso. Bisogna dunque capire bene l'enunciato del suddetto postulato. Riportiamolo nella forma più nota:"Presa una retta ed un punto esterno ad essa, esiste una ed una sola retta, passante per il punto e parallela alla retta data"Una retta, ritraducendo la definizione euclidea in termini più accessibili, è la linea più corta che unisce due punti. In questo senso è più corretto chiamarle "Geodetiche". Due geodetiche si dicono parallele se non si intersecano.Dunque, assumere che il quinto pustulato di Euclide sia falso può significare due cose:1) presa una geodetica ed un punto esterno ad essa, non esistono geodetiche passanti per il punto che non intersechino la geodetica di partenza2) presa una geodetica ed un punto esterno ad essa, esistono infinite geodetiche che passano per il punto e non intersecano la retta di partenza.Un esempio imoportante e piuttosto semplice del primo caso è il seguente.Consideriamo come piano una superficie sferica. Non è una cosa azzardata e assurda come sembra. Innanzitutto Euclide non aveva mica detto che il piano dovesse essere per forza piatto, anzi. E poi, a pensarci bene, noi viviamo su una cosa che è quasi una superficie sferica... e allora perché non lavorare su un piano sìffatto? Dunque la nostra bella superficie sferica. Su una sfera, le geodetiche sono i cosìddetti cerchi massimi, ossia quelle circonferenze di raggio uguale al raggio della sfera. Considerate due di queste circonferenze, avranno sempre almeno due punti d'intersezione. Dunque non possono esserci geodetiche "parallele". In un mondo come questo, un triangolo, che è una figura geometrica il cui bordo è costituito di tre geodetiche, ha effettivamente - ed è relativamente facile calcolarlo - somma degli angoli interni maggiore di 180°... insomma: è la descrizione di una geometria non-euclidea, ma neanche lontanamente astratta e complicata come vogliono farci credere i nostri docenti delle scuole dell'obbligo...Per quanto riguarda il secondo caso, un esempio che descriva come funzionano le cose è leggermente più complicato e un decisamente meno vicino a cose già note. Proviamo ugualmente.Consideriamo come piano un cerchio. Definiamo una metrica (ossia un modo di calcolare le distanze) in modo tale che le geodetiche siano o i diametri o degli archi di circonferenza che intersecano ortogonalmente il bordo del cerchio (vedi foto). In questo mondo, se considero una geodetica ed un punto esterno ad essa, esistono infinite geodetiche che passano per il punto e non intersecano la geodetica di cui sopra. E' un po' meno facile calcolare la somma degli angoli interni di un triangolo. Fatto sta che, facendo il suddetto calcolo, si può vedere che è minore di 180°...