Con le relazioni d'equivalenza, se ci si fa un po' caso, viene spontaneo il seguente ragionamento: in un insieme, definita una relazione d'equivalenza, posso pensare di raggruppare gli elementi in sottoinsiemi in modo tale che in ogni sottoinsieme ci siano gli elementi equivalenti fra loro...E' un'idea piuttosto naturale. Questi sottoinsiemi si chiamano classi d'equivalenza. E ragioniamoci un po' su. In una classe d'equivalenza ci sono tutti e soli gli elementi equivalenti fra loro: non possono proprio essercene altri per come è definita una relazione d'equivalenza. Nell'ultimo esempio dell'altra volta, per dire, avevamo visto come, se la relazione d'equivalenza è "due elementi sono equivalenti se danno lo stesso resto nella divisione per sette", 8 e 1 fossero equivalenti. In particolare, ora, possiamo dire che 8 e 1 sono nella stessa classe d'equivalenza, così come, in quella classe, ci sono 15, 22, 29 e così via. Questa classe la chiameremo 1, perché contiene gli elementi che danno resto 1. Allo stesso modo 2, 9, 16, 23, 30 eccetera saranno nella classe 2. E le due classi saranno disgiunte, ossia non hanno elementi comuni.Infatti due classi d'equivalenza diverse, in generale, devono essere per forza disgiunte perché se per assurdo un elemento si trovasse in entrambe allora esso sarebbe equivalente a tutti gli elementi di entrambe le classi, ma per la proprietà transitiva, questo significherebbe che tutti gli elementi di entrambe le classi sarebbero equivalenti fra loro, e quindi che in realtà le due classi sarebbero una sola. (c.v.d.)Notazione: Se X è un insieme non vuoto con una relazione d'equivalenza * e x è un elemento di X, chiameremo [x]* oppure x la classe d'equivalenza di x, ossia tutti gli elementi di X equivalenti a x.A questo punto un altro passaggio abbastanza naturale è quello di "quozientare" l'insieme rispetto alla relazione d'equivalenza *. Ovvero in matematichese:Dato un insieme X su cui è definita una relazione d'equivalenza *, il quoziente di X rispetto a * èX/* = {[x]* al variare di x in X}cioè l'insieme delle classi d'equivalenza.Per tornare all'esempio di prima, il quoziente di Z (l'insieme dei numeri interi) rispetto alla relazione che abbiamo definito è dato da{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} e cioè tutti i possibili resti della divisione per 7.
Quozienti... cominciamo a giocare!
Con le relazioni d'equivalenza, se ci si fa un po' caso, viene spontaneo il seguente ragionamento: in un insieme, definita una relazione d'equivalenza, posso pensare di raggruppare gli elementi in sottoinsiemi in modo tale che in ogni sottoinsieme ci siano gli elementi equivalenti fra loro...E' un'idea piuttosto naturale. Questi sottoinsiemi si chiamano classi d'equivalenza. E ragioniamoci un po' su. In una classe d'equivalenza ci sono tutti e soli gli elementi equivalenti fra loro: non possono proprio essercene altri per come è definita una relazione d'equivalenza. Nell'ultimo esempio dell'altra volta, per dire, avevamo visto come, se la relazione d'equivalenza è "due elementi sono equivalenti se danno lo stesso resto nella divisione per sette", 8 e 1 fossero equivalenti. In particolare, ora, possiamo dire che 8 e 1 sono nella stessa classe d'equivalenza, così come, in quella classe, ci sono 15, 22, 29 e così via. Questa classe la chiameremo 1, perché contiene gli elementi che danno resto 1. Allo stesso modo 2, 9, 16, 23, 30 eccetera saranno nella classe 2. E le due classi saranno disgiunte, ossia non hanno elementi comuni.Infatti due classi d'equivalenza diverse, in generale, devono essere per forza disgiunte perché se per assurdo un elemento si trovasse in entrambe allora esso sarebbe equivalente a tutti gli elementi di entrambe le classi, ma per la proprietà transitiva, questo significherebbe che tutti gli elementi di entrambe le classi sarebbero equivalenti fra loro, e quindi che in realtà le due classi sarebbero una sola. (c.v.d.)Notazione: Se X è un insieme non vuoto con una relazione d'equivalenza * e x è un elemento di X, chiameremo [x]* oppure x la classe d'equivalenza di x, ossia tutti gli elementi di X equivalenti a x.A questo punto un altro passaggio abbastanza naturale è quello di "quozientare" l'insieme rispetto alla relazione d'equivalenza *. Ovvero in matematichese:Dato un insieme X su cui è definita una relazione d'equivalenza *, il quoziente di X rispetto a * èX/* = {[x]* al variare di x in X}cioè l'insieme delle classi d'equivalenza.Per tornare all'esempio di prima, il quoziente di Z (l'insieme dei numeri interi) rispetto alla relazione che abbiamo definito è dato da{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} e cioè tutti i possibili resti della divisione per 7.