Matematicamente

Applicazioni/Funzioni/Mappe/Corrispondenze... il concetto è lo stesso!

Il concetto di applicazione è uno dei più importanti di tutta la matematica. Come possono essere fatte, quali proprietà conservano e in che senso (...): la matematica si basa essenzialmente su queste cose. Cerchiamo quindi di capire il concetto di base.

Come da titolo, questo è un concetto che ha molti nomi per non cambiando di una virgola la sostanza; noterete quindi che mi capiterà spesso di usare i vari nomi indistinatemente.

Dati due insiemi qualsiasi X, Y non vuoti, un'applicazione f da X a Y è una legge che lega tutti gli elementi di X con gli elementi di Y, e si scrive nel seguente modo:

f : X ------------> Y

    x |---------> f(x) = y

ad ogni elemento x di X corrisponde un elemento y di X.

Ad esempio consideriamo la seguente applicazione

f : N --------------> N

    x |-------------> f(x)=2x 

ovvero l'applicazione che fa corrispondere ad ogni numero naturale N = {1,2,3,4,5,....} il suo doppio. Quindi, ad esempio, f(3)=6.

Un'applicazione si dice "iniettiva" se ad elementi diversi di X corrispondono elementi diversi di Y o, in matematichese:

se  f(x) = f(x') => x = x'

che si legge:

"se effe di ics è uguale a ics primo, allora ics è uguale a ics primo"

Come controesempio, l'applicazione f(x)=x^2 non è iniettiva, perché f(2) = 4 = f(-2) ma, evidentemente, 2 è diverso da -2.

Un'applicazione si dice "suriettiva" se ogni elemento di Y è immagine di un qualche elemento di X o, in matematichese:

per ogni y in Y esiste x in X tale che f(x)=y

(ho provato a scriverlo in simboli ma non li accetta....)

Come controesempio, riportiamo l'applicazione f(x)=2x del primo esempio. Infatti 7 non è il doppio di nessun numero naturale, quindi l'applicazione non è iniettiva.

Un'applicazione si dice "biunivoca" o "biiettiva" se è sia iniettiva che suriettiva.

Osserviamo immediatamente che, se un'applicazione è biunivoca, allora gli elementi di X sono tanti quanti gli elementi di Y dato che c'è una corrispondenza uno-a-uno ossia, ad ogni elemento di X associo univocamente un elemento di Y e viceversa ogni elemento di Y è associato ad un solo elemento di X. Quest'osservazione, che a dir la verità sembra piuttosto ovvia, è in realtà di importanza cruciale nella teoria dell'infinito di Cantor (1845 - 1918)