Questo me lo sarei risparmiato volentieri, soprattutto perché non mi sento in grado di, ma l'amika k. mi tira per i capelli. Il primo teorema di Goedel dice, più o meno, che dato un sistema formale S abbastanza potente da contenere l'aritmetica (l'aritmetica, tanto per farla chiara e distinta, "è" numeri naturali con in aggiunta le operazioni di somma e prodotto), esiste almeno una proposizione P tale che né P né la sua negazione sono dimostrabili in S. Detto altrimenti, P è indecidibile. Eppure P è vera. Smazzando alla grossa, la proposizione P suona più o meno così: "Io non sono dimostrabile". Ora, capisco che sia difficile accettare l'idea di una proposizione matematica (P) che asserisca la sua propria indimostrabilità, eppure è possibile costruirla, come Goedel ci ha mostrato. La proposizione P è l'equivalente matematico delle proposizioni (in linguaggio naturale): "Questa frase è falsa", oppure, per tornare al classico, "Io, che sono di Creta, dico che tutti i cretesi mentono". Ora, mettetevi nei panni di un povero matematico (mi viene in mente una barzelletta, la dico dopo). Vi trovate di fronte a una proposizione aritmetica P che asserisce la sua indimostrabilità. Allora le cose sono due: o le date retta (questo significa che la proposizione è vera senza che sia possibile dimostrarla) oppure non le date ascolto e provate a dimostrarla. Se dimostrate che è vera, allo stesso tempo avete dimostrato che è falsa (alla fin fine asserisce che non è possibile dimostrarla, se la dimostrate avete dimostrato che l'aritmetica produce proposizioni false, perché P, non dimenticate, è una proposizione aritmetica, cioè un teorema). Delle due l'una: o l'aritmetica è coerente ma incompleta (esistono proposizioni vere che non possono essere dimostrate), oppure è completa ma incoerente (esistono proposizioni tipo P che possono essere dimostrate tanto quanto la loro negazione). Il secondo teorema di Goedel dice che se S è un sistema formale abbastanza potente da contenere l'aritmetica, non è possibile provare la coerenza di S all'interno del sistema. Da notare che il primo teorema costruisce una proposizione indecidibile, il secondo invece, in qualche maniera, afferma che tale proposizione è vera, ammazzando la presupposta completezza dell'aritmetica (o di qualsiasi altro sistema formale abbastanza esteso da contenerla).
L'Angelo di Goedel (8/N)
Questo me lo sarei risparmiato volentieri, soprattutto perché non mi sento in grado di, ma l'amika k. mi tira per i capelli. Il primo teorema di Goedel dice, più o meno, che dato un sistema formale S abbastanza potente da contenere l'aritmetica (l'aritmetica, tanto per farla chiara e distinta, "è" numeri naturali con in aggiunta le operazioni di somma e prodotto), esiste almeno una proposizione P tale che né P né la sua negazione sono dimostrabili in S. Detto altrimenti, P è indecidibile. Eppure P è vera. Smazzando alla grossa, la proposizione P suona più o meno così: "Io non sono dimostrabile". Ora, capisco che sia difficile accettare l'idea di una proposizione matematica (P) che asserisca la sua propria indimostrabilità, eppure è possibile costruirla, come Goedel ci ha mostrato. La proposizione P è l'equivalente matematico delle proposizioni (in linguaggio naturale): "Questa frase è falsa", oppure, per tornare al classico, "Io, che sono di Creta, dico che tutti i cretesi mentono". Ora, mettetevi nei panni di un povero matematico (mi viene in mente una barzelletta, la dico dopo). Vi trovate di fronte a una proposizione aritmetica P che asserisce la sua indimostrabilità. Allora le cose sono due: o le date retta (questo significa che la proposizione è vera senza che sia possibile dimostrarla) oppure non le date ascolto e provate a dimostrarla. Se dimostrate che è vera, allo stesso tempo avete dimostrato che è falsa (alla fin fine asserisce che non è possibile dimostrarla, se la dimostrate avete dimostrato che l'aritmetica produce proposizioni false, perché P, non dimenticate, è una proposizione aritmetica, cioè un teorema). Delle due l'una: o l'aritmetica è coerente ma incompleta (esistono proposizioni vere che non possono essere dimostrate), oppure è completa ma incoerente (esistono proposizioni tipo P che possono essere dimostrate tanto quanto la loro negazione). Il secondo teorema di Goedel dice che se S è un sistema formale abbastanza potente da contenere l'aritmetica, non è possibile provare la coerenza di S all'interno del sistema. Da notare che il primo teorema costruisce una proposizione indecidibile, il secondo invece, in qualche maniera, afferma che tale proposizione è vera, ammazzando la presupposta completezza dell'aritmetica (o di qualsiasi altro sistema formale abbastanza esteso da contenerla).