In quest post vorrei affrontare un problema molto interessante che alcune brillanti menti del passato si sono poste: se una traiettoria rettilinea è il percorso più breve per andare da un punto ad un altro in termini di spazio lo è anche in termini di tempo?Credo che la domanda sia chiara ma vorrei spiegarla in termini un po’ più rigorosi.Siano A e B due punti fissati e si consideri una massa puntiforme M che deve andare da un punto A a un punto B.Qual è la traiettoria che mi consente di andare da A a B nel minor tempo?Contrariamente a quanto ci si potrebbe aspettare, il tempo non risulta minimo se la guida è quella di lunghezza minima fra A e B (cioè una guida rettilinea), ma la curva che permette alla particella di andare dal punto A al punto B nel minor tempo possibile è chiamata brachistocrona, ossia (curva del tempo più corto).La curva in questione è una cicloide cioè una curva tracciata da un punto fisso su una circonferenza che rotola lungo una retta (es. ruota di una bici). L’immagine in movimento chiarirà meglio il concetto.
Dal punto di vista storico il problema seguì queste tappe:Si può dire che il problema fu proposto per la prima volta in forma ufficiale da Johann Bernoulli nel 1697. Nell'introduzione al problema Bernoulli accennava al fatto che esso fosse difficoltoso anche per quei matematici che avevano ampliato la matematica con dei teoremi "che (essi dicono) non erano conosciuti da nessuno". È evidente qui il riferimento a Isaac Newton, che aveva dato inizio tre anni prima alla disputa Newton-Leibniz sulla paternità del calcolo infinitesimale (Bernoulli era un accanito sostenitore di Leibniz). Il problema quindi era soprattutto una sfida a Newton. Bernoulli fece circolare il problema in tutta Europa e poco dopo arrivarono tre risposte: una di Leibniz, una di de l'Hopital e una, proveniente dall'Inghilterra e non firmata. Bernoulli riconobbe però subito l'autore: Newton. Si dice addirittura che il grande scienziato inglese risolse il problema in una notte dopo un'estenuante giornata di lavoro.Il video riportato qui sotto ci fa vedere il confronto tra la traiettoria rettilinea e cicloidea: