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Un'approsimazione di Pi Greco

Post n°1734 pubblicato il 20 Novembre 2011 da tanksgodisfriday
 

La
frazione 355 / 113 è un'ottima approssimazione a pi greco.
Il risultato risale all'anno 480 e lo si deve al matematico cinese  Zu Chongzhi. Più o meno nello stesso tempo, nel 476, Odoacre deponeva Romolo Augusto, facendo calare il sipario sull'Impero Romano d'Occidente. Cominciavano secoli bui.

Tornando alla lontana Cina, Zu Chongzhi dimostrò questo risultato calcolando il perimetro di un poligono regolare di 12.288 lati, come approssimazione di una circonferenza. Benché i due numeri coinvolti (133 e 355) siano abbastanza piccoli da ricordarli a mente, l'approssimazione è davvero notevole, visto che l'errore è minore di 0,0000003.

Picture

Come si fa a trovare frazioni che approssimano il valore di pi greco?
È abbastanza semplice, se si conosce già il valore di pi greco (ricordiamoci che Zu Chongzhi non lo conosceva!). Basta un ragionamento facile facile, e anche semplice da realizzare con excel.

Assumiamo per pi greco il valore approssimato: 3,1415926535.
Partiamo dalla frazione 1 / 1. Il valore della frazione è troppo piccolo (1), cosicché l'errore che si commette assumendola come valore di pi greco è elevato: 2,1415926535.
Occorre aumentare il valore della frazione, quindi incrementiamo di 1 il numeratore: 2 / 1. Ancora troppo poco, aumentiamo ancora di 1 il numeratore e riproviamo: 2 / 1 = 2. Aumentiamo ancora: 3 / 1 = 3.

Picture

Serve ancora un piccolo sforzo: 4 / 1 = 4. Questa volta è troppo! Aumentiamo allora il denominatore: 4 / 2 = 2. Siamo tornati al troppo poco, occorre rimettere mano al numeratore: 5 / 2 = 2,5.
Proseguiamo così, calcolando l'errore a ogni incremento del numeratore o del denominatore, e annotando tutte le volte che troviamo un errore più piccolo del minimo precedente.

Troviamo così: 22 / 7 (risultato già noto ad Archimede), poi, dopo un po', ecco il nostro 355 / 133 !

Occorrerà una lunga strada, per arrivare a ridurre l'errore: 103.993 / 33.102: difficile da scovare con excel, sottolinea la sorprendente semplicità della frazione trovata da Zu Chongzhi.
A poca distanza da 355 / 113,, ecco 377 / 120: approssimazione peggiore di quella di  Zu Chongzhi, ma con valore storico, essendo stata trovata da Tolomeo.

Un calcolo che ci porta in giro per la Storia e per il Mondo, insomma.

[Tutti o post su numeri e giochi.]

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Commenti al Post:
Utente non iscritto alla Community di Libero
lettore qualunque il 21/11/11 alle 08:14 via WEB
"Un particolare numero sembra determinare la lunghezza dei fiumi che formano meandri. Il prof Hans Stolum, uno scienziato della terra dell’università di Cambridge, ha calcolato il rapporto tra la lunghezza effettiva dei fiumi dalla sorgente alla foce e la loro lunghezza in linea d’aria. Anche se il rapporto varia tra un fiume e un altro, il valore medio è leggermente superiore a 3, cioè la lunghezza effettiva è circa 3 volte maggiore della distanza diretta in linea d’aria. In realtà il rapporto è circa 3,14 , che è il valore approssimato di pi greco ossia del rapporto tra la circonferenza e di diametro del cerchio. Nel caso dei fiumi, pi greco è il risultato di una battaglia tra l’ordine e il caos. [...] L’equilibrio tra questi due fattori opposti conduce a un rapporto medio che vale pi greco tra l’effettiva distanza in linea retta tra la sorgente e la foce. Il rapporto di pi greco si trova più comunemente in quei fiumi che scorrono attraverso pianure che hanno un dislivello molto tenue, come i fiumi in Brasile o nella tundra siberiana." Probabilmente è più semplice impostare un foglio di calcolo che misurare lunghezze (parziali e totali) di corsi d'acqua e relativi dislivelli, ma vuoi mettere il fascino?
 
 
tanksgodisfriday
tanksgodisfriday il 21/11/11 alle 23:09 via WEB
Uno spunto bellissimo! Grazie.
 
nella65vit
nella65vit il 21/11/11 alle 16:15 via WEB
errori che si riducono...e' difficile che cio' accada per i problemi di tutti i giorni,dove in genere gli errori commessi pesano come macigni.
 
 
tanksgodisfriday
tanksgodisfriday il 21/11/11 alle 23:10 via WEB
Ricordiamo solo quelli che pesano, forse è questo il problema.
 
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