Creato da tanksgodisfriday il 26/03/2006
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La distrazione mi ha fregato, non è la prima e non sarà l'ultima volta.Semifinale dei Campionati Internazionali di Giochi Matematici 2010, oggi. Il problema è il primo dei dodici per la mia categoria (GP), quello presumibilmente più semplice. Ecco il testo: Il giovedì è il giorno di mercato per i contadini che, sulla piazza del villaggio, si scambiano i loro animali. Ecco i "prezzi": un'anatra vale due galline; una mucca vale una capra più tre anatre; una capra vale due anatre più due galline. Quante galline potrà avere (al massimo) un contadino in cambio di una mucca? Visto che il problema è semplice, si può integrare con la caccia all'errore: scoprite la vaccata (è in tema, ahimé) commessa dal sottoscritto (nell'immagine i miei calcoli, letti e riletti senza accorgermi dell'errore, miseriaccia!). Alla fine, dei 12 problemi (dal 5 al 16 per la mia categoria), ne ho risolti correttamente 8. Speravo di fare meglio. Carino il problema n.ro 15. Il testo: La sesta potenza di un numero intero positivo N è un numero di 9 cifre. Sistemando queste cifre in ordine decrescente, si ottiene 988744320. Qual era il numero iniziale N? Non serve calcolatrice (peraltro proibita). E il problema n.ro 10. Il testo: In un triangolo rettangolo, il prodotto delle lunghezze dei tre lati è il doppio del prodotto delle tre altezze. Qual è la misura (in gradi) di uno dei due angoli acuti di questo triangolo rettangolo? Buona serata. [Tutti i post su numeri e giochi.] |
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se si etichettano i vertici con A, B e C in modo che l'ipotenusa sia BC, e con H l'altro estremo dell'altezza relativa all'ipotenusa, la similitudine tra i triangoli ABC e HBA impone che AH/AB = AC/BC, e tenendo presente che vogliamo AH = BC/2, si ottiene la relazione BC^2 = 2 AC AB.
d'altra parte il teorema di pitagora dice BC^2 = AB^2 + AC^2
quindi la relazione diventa AB^2 + AC^2 = 2 AC AB, ovvero (AC-AB)^2 = 0, che vale solo se AB = AC, cioe' se il triangolo rettangolo e' anche isoscele.
Una volta capito che l'altezza relativa all'ipotenusa è metà dell'ipotenusa, ho considerato la semicirconferenza in cui è inscritto il triangolo, che ha il diametro pari all'ipotenusa. A questo punto l'altezza relativa all'ipotenusa, lunga quanto il raggio, non può che passare per il centro della circonferenza.
guardando meglio, si trova che deve essere maggiore di 20 (perche' 2^6 = 64, quindi arriverebbe ad appena 8 cifre) e minore di 40 (perche' 4^6 = 4096, e arriveremmo a 10 cifre).
poi, bisogna considerare che N^6 e' divisibile per 3 (i criteri di divisibilita' per 3 e per 9 rimangono validi anche se si riordinano le cifre), quindi N deve essere un multiplo di 3.
al terzo tentativo ci siamo. io pero' ho avuto bisogno di carta e penna per i calcoli...
Basta considerare ancora la cifra finale del risultato: non può essere, ad esempio, 6 (manca tra le cifre del numero).
Il n.ro 11 (che ho lasciato a metà, perché ero fuso):
Qual è il più piccolo numero intero positivo che, moltiplicato per 4, dà un numero che si scrive con le stesse cifre, scritte però nell'ordine inverso?