fisica facile

Un oggetto parte con velocità iniziale v₀ = 20 m/s dalla base di un piano inclinato di un angolo q = 45° (vedi figura) rispetto all'orizzontale e privo di attrito. Calcolare l'altezza H (rispetto al suolo) alla quale l'oggetto si fermerà.

(Possiamo risolvere il problema in due modi)

Soluzione 1) conservazione dell'energia meccanica.
Poichè il piano è liscio, quindi è assente l'attrito, possiamo usare il principio di conservazione dell'energia meccanica per risolvere in modo semplice e veloce questo esercizio.
Guardando in figura possiamo distinguere i due punti A e B in cui si trova l'oggetto rispettivamente nell'istante "iniziale" e "finale" della traiettoria (non considerando chiaramente il successivo moto di discesa dell'oggetto).

Nel punto A l'energia meccanica sarà:
E_M (A) = E_c (A) + E_P (A) = ½ m v₀² + 0     --> l'energia potenziale vale zero poichè l'oggetto è al suolo

Nel punto B l'energia meccanica sarà:
E_M (B) = E_c (B) + E_P (B) =   0 +  m g H    --> l'energia cinetica vale zero perchè l'oggetto si ferma

Uguagliando l'energia meccanica tra i punti A e B troviamo:

E_M (A) = E_M (B)       
          -->      ½ m v₀² = m g H      
                         -->       ½  v₀² =  g H  
                                      -->        H = v₀² /(2g)  ≈ 20 m

Nota: dall'ultima formula si può ricavare v₀ = √(2 g H) per cui se avessimo avuto H tra i dati del problema, avremmo potuto calcolare la velocità iniziale v₀ senza difficoltà.

Soluzione 2) leggi del moto rettilineo uniformemente ritardato.
Assegnando un sistema di riferimento cartesiano con l'origine nel punto iniziale del moto e l'asse X parallelo al piano inclinato, possiamo notare che la componente lungo X della forza peso (vettore) è in direzione opposta al moto (puoi vedere la figura del post n°2 - Febbraio 2006) e vale:

F_px = - m g sin (q)

dividendo la forza per la massa troviamo l'accelerazione

a_x = F_px / m = - g sin (q)

Lungo l'asso X avremo allora le due equazioni per la coordinata x  e la velocità:

Quando l'oggetto si ferma abbiamo v(t) = 0 nell'equazione (2) quindi 

v₀ - g t sin (q) = 0
                           v₀ = g t sin (q)
                                                  t = v₀ / [g  sin (q)]

Questo tempo, necessario ad arrivare fino a quota H, inserito nell'equazione (1) ci da la lunghezza del tratto d (vedi figura):

d = v₀² / [2 g  sin (q)]

non dimentichiamoci però che nel triangolo formatosi, d è l'ipotenusa ed H è il cateto, per cui 

H = d sin (q)
                      H = v₀² sin (q) / [2 g sin (q)]
                                                                      H = v₀² / (2 g )  ≈ 20 m.