Il volume della sfera e la scodella di Galileo

UN QUESITO DELL'ESAME DI STATO

 Il volume della sfera è stato determinato per la prima volta da Archimede, nel III sec. a.C. Riportiamo una dimostrazione della formula che permette di determinare il volume V della sfera in funzione del raggio r, data da Luca Valerio, professore di matematica all'Università di Roma, ai primi del 1600.La dimostrazione di Luca Valerio è comunemente nota col nome di dimostrazione della scodella di Galileo, perché Galileo la riporta in uno dei suoi scritti.Questa dimostrazione si basa sul principio di Cavalieri.Per determinare il volume di una sfera Luca Valerio considerò:un cilindro con altezza uguale al raggio r del cerchio di base; la semisfera inscritta in tale cilindro; il cono inscritto in tale cilindro, avente il vertice nel centro O della semisfera. Togliendo dal cilindro la semisfera si ottiene una figura solida concava: la scodella  di Galileo.Luca Valerio dimostrò che la scodella è equiestesa al cono . Tagliamo il cilindro con un piano α parallelo al piano π della base. Il piano α interseca il cono e la scodella in due figure piane S e S1. S è un cerchio mentre S1 è una corona circolare.