Il nostro giornalino

Il problema di Hall (tratto da Wikipedia)

Nella speranza di vincere un'auto nuova, il giocatore sceglie la porta 1. Il conduttore apre la porta 3, rivelando una capra, e offre al giocatore la possibilità di passare alla porta 2.

Il problema di Monty Hall è un noto paradosso della teoria della probabilità, legato al gioco a premi americano Let's Make a Deal. Il nome viene da quello del conduttore dello show, Maurice Halprin, noto con lo pseudonimo di Monty Hall. In questo gioco, vengono mostrate a un giocatore tre porte chiuse; al di là di una c'è un'automobile e dietro ciascuna delle altre due si nasconde una capra. Al giocatore è permesso aprire una porta, e tenersi ciò che si trova di là da essa. Ad ogni modo, dopo che il giocatore ha selezionato una porta, ma non l'ha ancora aperta, il conduttore dello show (che conosce ciò che si trova dietro ogni porta) deve aprire un'altra porta, rivelando una delle due capre. Il conduttore offre a quel punto al giocatore la possibilità di cambiare la propria scelta iniziale, passando all'unica porta restante. Passare all'altra porta migliora le chance del giocatore di vincere l'automobile? La risposta è sì; in particolare, le probabilità di vittoria passano da 1/3 a 2/3.

Il problema è anche noto come paradosso di Monty Hall, nel senso che la soluzione è controintuitiva, sebbene il problema non conduca a una contraddizione logica (e dunque non si tratta di una antinomia).

Una famosa formulazione del problema è contenuta in una lettera del 1990 di Craig F. Whitaker, indirizzata alla rubrica di Marilyn vos Savant nel settimanale Parade:

Supponi di partecipare a un gioco a premi, in cui puoi scegliere tra tre porte: dietro una di esse c'è un'automobile, dietro le altre, capre. Scegli una porta, diciamo la numero 1, e il conduttore del gioco a premi, che sa cosa si nasconde dietro ciascuna porta, ne apre un'altra, diciamo la 3, rivelando una capra. Quindi ti domanda: "Vorresti scegliere la numero 2?" Ti conviene cambiare la tua scelta originale?

Quella proposta sopra è una formulazione del problema data da Steve Selvin, in una lettera all'American Statistician (febbraio 1975). Così impostato, il problema è in realtà una variazione sul tema del gioco a premi originale; Monty Hall in effetti apriva una porta dietro cui si trovava una capra per aumentare la tensione, ma non consentiva ai giocatori di cambiare la propria scelta originale.

Quella che segue, per concludere, è una formulazione del problema priva di ambiguità, con vincoli espliciti concernenti il comportamento del conduttore, presentata da Mueser e Granberg:

• Dietro ciascuna di tre porte c'è un'automobile o una capra (due capre, un'automobile in tutto); la probabilità che l'automobile si trovi dietro una data porta è identica per tutte le porte;
• Il giocatore sceglie una delle porte; il suo contenuto non è rivelato;
• Il conduttore sa ciò che si nasconde dietro ciascuna porta;
• Il conduttore deve aprire una delle porte non selezionate, e deve offrire al giocatore la possibilità di cambiare la sua scelta;
• Il conduttore aprirà sempre una porta che nasconde una capra;
  • Cioè, se il giocatore ha scelto una porta che nasconde una capra, il conduttore aprirà la porta che nasconde l'altra capra;
  • Se invece il giocatore ha scelto la porta che nasconde l'automobile, il conduttore sceglie a caso una delle due porte rimanenti;
• Il conduttore offre al giocatore la possibilità di reclamare ciò che si trova dietro la porta che ha scelto originalmente, o di cambiare, reclamando ciò che si trova dietro la porta rimasta.

Le possibilità di vittoria aumentano per il giocatore se cambia la propria scelta?

La risposta è sì; le probabilità di trovare l'automobile raddoppiano.

La soluzione può essere illustrata come segue. Ci sono tre scenari possibili, ciascuno avente probabilità 1/3:

• Il giocatore sceglie la capra numero 1. Il conduttore sceglie l'altra capra. Cambiando, il giocatore vince l'auto.
• Il giocatore sceglie la capra numero 2. Il conduttore sceglie l'altra capra. Cambiando, il giocatore vince l'auto.
• Il giocatore sceglie l'auto. Il conduttore sceglie una capra, non importa quale. Cambiando, il giocatore trova l'altra capra.

Nei primi due scenari, cambiando il giocatore vince l'auto; nel terzo scenario il giocatore che cambia non vince. Dal momento che la strategia "cambiare" porta alla vittoria in due casi su tre, le chance di vittoria adottando la strategia sono 2/3.

Una strategia di soluzione alternativa è considerare che se si suppone di cambiare, il solo caso in cui si perde è quello in cui originariamente si è scelta l'automobile e quindi la domanda del conduttore può essere considerata un invito a invertire le probabilità di successo con quelle di insuccesso.