fisica facile

 Una molla di costante elastica k è posta orizzontalmente su di un tavolo liscio, fissata da un lato. All'altro lato della molla è attaccato un corpo di massa m. Il piano del tavolo è ad un'altezza h dal pavimento (vedi figura). Inizialmente la molla è compressa di un tratto Δx e ad un certo istante viene lasciata libera di espandersi. Calcolare la distanza dal tavolo di impatto sul pavimento.

Soluzione.
In questo problema possiamo trascurare l'attrito sul tavolo (liscio) e l'attrito dell'aria, per cui possiamo in una prima fase di svolgimento utilizzare il teorema di conservazione dell'energia meccanica per l'oggetto attaccato alla molla. Sono due gli "istanti" da tenere in considerazione:

punto A (figura) in cui la molla è compressa e l'oggetto vi è attaccato

punto B (figura) in cui la molla si è espansa e l'oggetto si è appena staccato.

E_c(A) + E_p(A) = E_c(B) + E_P(B)

Nota: ricordo che l'energia meccanica  (o totale) di un sistema qualsiasi in un punto dello spazio, è data dalla somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale del sistema in quel punto.

L'energia cinetica dell'oggetto nel punto A è chiaramente nulla, essendo esso fermo. Viceversa la molla darà un contributo "massimo" di energia potenziale in A, dato da

E_p (A) = ½ k (Δx)²  

quindi   E_p (A) = ½ k (Δx)²    ,    E_c (A) = 0         (1)

L'energia potenziale dell'oggetto nel punto B sarà nulla (l'oggetto si è appena staccato dalla molla). Viceversa l'energia cinetica dell'oggetto in B sarà "massima" e dobbiamo ricavarla utilizzando comunque la formula generale

E_c = ½ m v²

quindi   E_c (B) = ½ m v²    ,    E_p (B) = 0        (2)

Sommando rispettivamente i contributi in (1) ed in (2) e poi uguagliandoli si ottiene:

½ k (Δx)² = ½ m v²

eliminando ½ da ambo i membri di questa equazione, dividendo per m ed estraendo radice troviamo

v =  Δx √ (k/m)                            (*)

v è la velocità dell'oggetto dopo aver abbandonato la molla. Questa velocità sarà mantenuta dall'oggetto fino all'orlo del tavolo (liscio quindi senza attrito). v è in sostanza la velocità con la quale l'oggetto affronta il moto di caduta dal tavolo.
All'istante in cui l'oggetto si trova sull'orlo del tavolo, la sua velocità è parallela al pavimento (orizzontale). Possiamo studiare la traiettoria con le leggi del moto PARABOLICO.
Se fissiamo l'origine degli assi cartesiani ai piedi del tavolo (vedi figura), le quattro equazioni per le coordinate e le componenti della velocità del corpo saranno:

x(t) = v t                    v_x(t) = v

y(t) = h - ½ g t²         v_y(t) = - g t

Se vogliamo calcolare la distanza di impatto al suolo bisogna trovare prima il "tempo" necessario ad arrivare al suolo, quindi sostituirlo in x(t).
L'unico modo di trovare questo tempo che chiameremo t_f è di porre

y(t_f)= 0

questa "condizione" è molto importante perchè ci dice che nell'istante in cui l'oggetto tocca il pavimento la sua altezza da terra y(t)  è uguale a zero, inoltre in questo momento l'oggetto ha raggiunto anche la massima distanza dal tavolo x(t_f) che è il valore da trovare.

y(t_f)= 0  --->     h - ½ g t_f ² = 0   --->      t_f = √ (2h/g)

Come detto prima la distanza dal tavolo (che chiameremo D) si trova inserendo t_f nella prima equazione del moto parabolico e utilizzando per la velocità v l'equazione (*)

D =   Δx   √ (2kh / mg )