TRA FISICA E REALTA'

Tutto si può compendiare nell'analisi funzionale.Partiamo dagli <<enti matematici>> e dai <<tre punti di vista>> dai quali essi possono essere osservati.Il primo stabilisce che gli enti <<esistono in sè>>,come,e' ben noto,esistono <<l'insieme di tutti i numeri interi,l'insieme di tutte le rette,dei cerchi e dei quadrati>>.Dopo aver preso coscienza di questo esistere oggettivo,passiamo al secondo angolo di osservazione : trovandosi cosi' a dover fare i conti con <<gli oggetti fisici che rappresentano gli enti matematici>>.Ma c'e' anche una terza soglia (e' la prima delle domande che cominciano a fioccare) : e' quella nella quale vengono descritti e rappresentati graficamente questi enti matematici,e cioe' attraverso formule,assiomi ecc.In proposito,un caso classico che viene in mente e che proviaene dall'antica Grecia,e' quello della diagonale di un quadrato.Esiste un quadrato ideale?In effetti e' da rilevare che la questione sta nella <<differenza tra rappresentazione fisica e quadrato ideale>> : il quadrato che di volta in volta disegnamo sul foglio e l'altro che sta nella mente di ciascuno di noi e che e' il <<quadrato ideale>>.Tra le due <<entità>> c'e un infinita' di differenze che,fin dall'antichita',furono oggetto degli studi dei matematici.Dopo averene disegnato uno,dieci,centomila ci si avvicina al quadrato ideale? E' una questione che Pirandello avrebbe affrontato in termini drammaturgici.In matematica bisogna ammettere che,nonostante gli sforzi,non si riesce mai a disegnare su un foglio il quadrato ideale della matematica.C'e' una ragione plausibile? ne abbiamo una prova fornitaci duemila e piu' anni fa,meglio conosciuta come teorema : <<La lunghezza della diagonale non e' commensurabile con la lunghezza di un lato,nel senso che non possiamo mai trovare due numeri interi tali che il rapporto tra la lunghezza di un lato e quella di una diagonale sia uguale al rapporto fra questi due numeri interi.Quale effetto ha prodotto un teorema siffatto? A questo teorema si deve un importante risultato che segnera' la storia della matematica : la nascita della teoria dei numeri irrazionali,cioe' l'uso delle radici quadrate,cubiche,ecc. Come si fa a capire che un numero e' irrazionale?...non credo che esista un uomo con capacita' di rappresentazione cosi' sviluppate e raffinate da poter discernere un numero razionale da un numero irrazionale.Percio' bisogna stare al gioco.Il quadrato ideale sta da una parte e la sua rappresentativita' fisica sta dall'altra.Il concetto di <<funzione> ha inizialmente una spiegazione semplice : <<una certa grandezza e' funzione di un altra grandezza,se i valori della prima sono univocamente determinati dai valori dell'altra>>. 

1) : Siamo già nel mondo dell'Analisi Funzionale?...diciamo che quello degli assi cartesiani ne è l'ingresso.Le figure di un grafico e di una tabella hanno un rapporto con l'idea matematica di funzione dello stesso tipo di quello delle figure che rappresentano i quadrati disegnati rispetto all'idea matematica di quadrato.E quindi l'Analisi Funzionale tratta delle funzioni,un concetto matematico di cui le più semplici rappresentazioni sono quelle delle temperature o di altri consimili.

2) : L'Analisi tratta una funzione per volta?...no,non si limita a trattare una funzione per volta,o un numero finito di funzioni per volta.Se così non fosse,che gusto,che interesse ci sarebbe a fare i matematici? Li ebbero,nel calcolo infinitesimale classico,protagonisti come Newton e Leibniz.Nel 900 c'è stato di nuovo l'interesse a considerare una famiglia infinita di funzioni e ad organizzarla in qualche modo,in maniera da poter studiare le proprieta' di questa famiglia organizzzata che prende il nome di "spazio funzionale".

3) : Numero infinito di funzioni e spazio funzionale c'è modo di raccapezzarcisi?...ci sono diversi modi per studiare gli spazi funzionali,il più semplice è quello in cui una famiglia molto ampia di funzioni,viene considerata come spazio metrico.Lo <<spazio metrico di funzioni>> indica che esso contiene infinite funzioni,per intenderci tutte quelle rappresentabili dai grafici prima descritti sulla temperatura e che sono funzioni reali di una variabile reale.

4) : Se le funzioni sono infinite,come si fa a gestirle in analogia alle famiglie finite di funzioni?...Inserendo nello spazio funzionale il concetto di <<distanza>>,ossia un numero che misuri <<quanto>> una funzione differisca da un altra.

5) : Una volta definita?...A questo punto la teoria matematica dei cosiddetti <<spazi metrici>> osserva che possono esserci degli spazi formati dagli stessi elementi,in cui sono definiti diversi tipi di distanze.Se si vuole visualizzare la definizione è ragionevole considerare il massimo scarto tra le due funzioni,cioè si considerano tutte le differenze tra i valori dell'una e i valori dell'altra e si vede il punto in cui la distanza è massima.Esempio : consideriamo il caso di due temperature,massima e minima,o due temperature rilevate in due città diverse.Ci si potrebbe chiedere quale sia stato il giorno in cui la temperatura di una città era più lontana dalla temperatura dell'altra o la temperatura massima più lontana dalla minima.Si potrebbero,percio',con lo stesso tipo di logica,considerare altri tipi di <<distanze>>.Per misurare quanto si differenzino reciprocamente le temperature dell'unna e dell'altra città basta misurare l'area racchiusa tra i grafici delle due funzioni ottenendo così una nuova distanza.E cosi' possono discendere una miriade di distanze,quali,ad esempio,il cosiddetto <<scarto quadratico medio>>,che si trova,per così dire,a metà strada fra la distanza calcolata come massima differenza fra le due funzioni e la distanza calcolata come differenza media fra di esse.La descrizione di tali distanze le rende ben visualizzabili.In definitiva gli spazi funzionali sono insiemi di funzioni organizzate mediante la definizione di una distanza.A questo riguardo qualcuno,con linguaggio raffinato,parla di <<topologia>>.Continua %...Minouche.