MATEMATICA

Il teorema di Talete

Dato un fascio di rette parallele, a, b, c, d, tragliate da due trasversali r ed s, si indicano con A, B, C, D i punti di intersezione della retta r con le rette parallele e con A', B', C', D' i corrispondenti punti  di intersezione della retta s.

Al segmento AB sulla trasversale r corrisponde il segmento A'B' sulla trasversale s, al segmento BC corrisponde il segmento B'C' e al segmento CD il segmento C'D'.

Si può verificare che :

AB:BC=A'B':B'C' cioè AB/BC=A'B'/B'C'
BC:CD=B'C':C'D' cioè BC/CD=B'C'/C'D'
AB:CD=A'B':C'D' cioè AB/CD=A'B'/C'D'

Fascio di rette parallele a,b,c tagliate dalle trasversali r e r'.

AB:A'B'=BC:B'C'

Figurine

Luca ha già sistemato nell' albun 18 figurine che sono i 3/5 di tutte quelle che ha comprato. Quanto figurine ha comprato?

18:3=6

6*5=30 figurine

Gli allenamenti di calcio

Paolo, Mario e Andrea giocano a pallone e vanno al campo di calcio per allenarsi. Oggi si sono ritrovati tutti e tre. Se Paolo va agli allenamenti ogni 3 giorni, Mario ogni 6 e Andrea ogni 4 giorni, fra quanti giorni si ritroveranno tutti e tre insieme?

m.c.m. (3;6;4)=12

Mele e limoni

Un agricoltore vuole spedire 700 mele e 560 limoni confezionandoli in cestini in modo tale che ogni cestino contenga lo stesso numero di frutti e che questo numero sia il massimo possibile. Quanti cestini confezionerà?

M.C.D. (700; 560) =140

Proprietà delle potenze

Il prodotto di due o più potenze che hanno la stessa base è uguale a una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti :

a^m*aⁿ=a^m+n

Il quoziente di due potenze che hanno la stessa base è uguale a una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti :

b^m:bⁿ=b^m-n

La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti :

(aⁿ)^m=a^n*m

Il prodotto di due o più potenze che hanno lo stesso esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente :

aⁿ*bⁿ*cⁿ=(a*b*c)ⁿ

Il quoziente di due potenze che hanno lo stesso esponente è uguale a una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente :

a^m:b^m=(a:b)^m

Potenze

Nel magazzino del signor Rossi sono arrivate 5 casse contenenti ciascuna 5 pacchi, in ognuno dei quali ci sono 5 scatole. Se in ogni scatola ci sono 5 bicchieri, quanti bicchieri sono arrivati in tutto in magazzino?

5*5*5*5=625

5^4=625

5 si chiama base

4 si chiama esponente

625 si chiama potenza

Parentesi

( ) tonde

[ ] quadre

{ } graffe

Problemi

Simone ha percorso 35 km. 35 km è un dato numerico.

Ho il triplo della tua età. il triplo è un dato relazionale

Elementi di un problema

dati numerici

dati relazionali

richieste

Criteri di divisibilità

...2 ...4 ... 6 ... 8 ...0      :2
2766                        :3
...16 ...24                   :4
...0 ...5                       :5
3176                         :8
9918                        :9
...0                           :10
8674347                 :11
...50 ..75                   :25
...00                        :100
3625                      :125
...000                      :1000

Dividere un numero in parti direttamene proporzionali

Dividere il numero 636 in parti direttamente proporzionali ai numeri 3, 4, 5.

x= [636/(3+4+5)]*3
y= [636/(3+4+5)]*4
z= [636/(3+4+5)]*5

Conigli e galline

Un contadino ha dei conigli e delle galline , in tutto questi animali hanno 19 teste e 52 zampe. Stabilire quanti sono i conigli e quante sono le galline.

Risoluzione in via aritmetica

19*2=38 se fossero tutte galline
52-38=14 zampe in più a causa dei conigli
14:2=7 numero dei conigli
19-7=12 numero delle galline

Risoluzione in via algebrica

2x+4(19-x)=52
2x+76-4x=52
-2x=52-76
-x=(52-76)/2
x=24/2
x=12

L' automobilista

Numeri

2 e 5 : numeri naturali

0,375 : numero decimale limitato

0,466666 : numero decimale illimitato

-7 : numero negativo

Proprietà del comporre e dello scomporre

Proprietà del comporre

In ogni proporzione la somma del primo e del secondo termine sta al primo (o al secondo) termine, come la somma del terzo e del quarto sta al terzo (o al quarto).

12:4=21:7

(12+4):12=(21+7):21

Proprietà dello scomporre

In ogni proporzione in cui ogni antecedente sia maggiore del proprio conseguente, la differenza fra il primo e il secondo termine sta al primo (o al secondo) termine, come la differenza fra il terzo e il quarto termine sta al terzo (o al quarto) termine.

15:5=27:9

(15-5):15=(27-9):27

Proporzione

a:b=c:d

8:4=6:3

Una proporzione è l' uguaglianza di due rapporti.

In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

8:4=6:3

8x3=4x6

Se in una qualsiasi proporzione si scambiano fra loro i due medi, o i due estremi, si ha una nuova proporzione.

Questa operazione prende il nome di proprietà del permutare.

a:b=c:d

a:c=b:d

d:b=c:a

Se in una qualsiasi proporzione si scambia ogni antecedente con il suo conseguente si ha una nuova proporzione

Questa operazione prende il nome di proprietà dell' invertire.

20:5=12:3

5:20=3:12

a:b=c:d

b:a=d:c

In ogni proporzione un estremo incognito è uguale al prodotto dei medi diviso l' altro estremo.

3:8=12:x

x=(8x12)/3

In ogni proporzione un medio incognito è uguale al prodotto degli estremi diviso l' altro medio.

20:8=x:6

x=(20x6)/8

Una proporzione si dice continua se ha i due medi uguali.

In ogni proporzione continua il prodotto degli estremi è uguale al quadrato del medio.

In ogni proporzione continua il medio incognito è uguale alla radice quadrata del prodotto dei due estremi.

18:12=12:8

Formule di geometria

quadrato  A  l*l
rettangolo A b*h
triangolo A (b*h)/2
rombo A (d1*d2)/2
trapezio A [(b1+b2)*h]/2
circonferenza L 2*pi*r
cerchio A pi*r*r
arco L (2*pi*r/360)*n
settore A (pi*r^2/360)*n
poligono regolare (p*a)/2
prisma retto Sl p*h V A*h
parallelepipedo rettangolo Sl 2*(ac+bc) St 2*(ab+ac+bc) V a*b*c
cubo St 6l^2 ; V l^3
piramide regolare Sl (p*a)/2 ; V (A*h)/3
tronco di piramide Sl [(p1+p2)*a]/2 ; V h/3*(A1+A2+rad(A1*A2))
cono Sl pi*r*a ; St pi*r*(a+r) ; V (pi*r^2*h)/3
tronco di cono Sl pi*(R+r)*a St pi*(R+r)*a+pi*r^2+pi*R^2 V pi*h/3*(R^2+r^2+R*r)
sfera S 4*pi*r^2 V 4/3*pi*r^3
calotta S 2*pi*r*h
segmento sferico V 1/3*pi*h^2*(3r-h)
fuso S [(pi*r^2)/90]*n
spicchio V [(pi*r^3)/270]*n

Problema dei muratori

Una squadra di 15 muratori in 12 giorni ha eseguito metà del lavoro. Per completare l' altra metà dispone di soli 8 operai. Quanti giorni impiegheranno a finire il lavoro gli 8 operai.

Risultato : 22,5


lavoro eseguito     n° muratori     giorni
1/2                       15                     12
1/2                       8                       x


15:8=x:12

x=(15*12)/8

x=22.5

Il problema della molla

Per allungare una molla  di 20 cm serve una forza di 3 newton. Quale forza è necessaria per allungare la stessa molla di 25 cm.

Risultato : 3,75 Newton

20:3=25:x

x=(25*3)/20

x=75/20

x=3,75