Matematica_curiosa

Cominciamo, se ci sono errori segnalate!

Un po’ di ripasso…

Criteri di divisibilità

Dato un sistema posizionale per esempio quello decimale, i criteri di divisibilità aiutano a decidere, se un numero di qualunque numero di cifre è divisibile per un dato divisore oppure no, questi criteri sono nel caso decimale quello per il 2, 3,4,5,6,9,10,11, 25.Per il 2 basta verificare che il numero sia paro, per il 3 si devono sommare le cifre e vedere se il numero ottenuto e 3 o multipli di tre, per il 4 il numero deve avere come ultime due cifre 04, 08 e multipli di 4, per 5 deve finire per 5 o 0, per 6 debbono essere entrambi validi i criteri per il 3 e il 2, per il 9 si deve fare come per il 3 ma verificare che il risultato dia 9 o multipli, per il 10 deve finire per 0, per 11 bisogna sommare le cifre nei posti pari e quelle nei posti dispari fare la differenza se viene 0, 11 o multipli di 11, per il 25 il numero deve finire 25,50,75,00. Altri criteri si ottengono applicando più di uno di questi criteri come abbiamo visto per il 6.

  Prova del nove generalizzata

La prova del nove si basa sul criterio di divisibilità del nove, se noi prendiamo un numero la somma delle cifre ci dà il resto di un’ eventuale divisione per nove modulo 9, quindi 19 =10=1 bisogna ridurre cioè il resto fino ad un numero ad una cifra, questo perché nel sistema decimale possono essere rappresentati con una cifra solo i resti di nove o di numeri ad esso inferiori, se stessimo nel sistema esadecimale potremmo rappresentare i resti di divisori fino a 15, e così via. Nella prova del nove della somma per esempio si verifica quale sia il resto del primo addendo e del secondo, etc si sommano i due resti e si verifica se la somma degli addendi ha lo stesso resto. Tenendo conto del legame che si hanno con le altre operazioni, si trovano facilmente le prove del nove legate ad esse. Nella prova del nove si ha un solo problema se accidentalmente scambiamo due cifre il resto del numero ottenuto è lo stesso. 19 e 91 hanno resto uno quindi 19/3= 6 e resto 1

 Diamo la regola del nove per le varie operazioni nel caso della somma bisogna calcolare i resti di ogni addendo sommare i vari resti ottenuti fino a ridurre il resto ad un numero di una sola cifra che va da zero fino ad otto, resto nove diventa resto zero, poi si calcola il resto della somma se il resto della somma è uguale al resto della somma dei resti degli addendi allora la prova del nove è giusta, tipo 10 +7 = 17

Resto(10)+Resto (7) = 1+7 = 8 Resto(17) = 8 => 8=8. La prova del nove per la differenza si riconduce a quella della somma 17 -7 = 10 cioè resto(10+7)= 8 = resto 17=8, oppure Resto(17) – Resto(7) = 8-7= 1 Resto 10 =1 1=1 prova riuscita, però alle volte può succedere che 10 -7 = 3 resto 10 =1 resto 7 =7 1-7 impossibile, quindi è più sicuro, usare il primo metodo. Per la moltiplicazione che una somma ripetuta vale restoPrimo fattoreXrestoSecondofattore = resto Prodotto per la divisione si inverte l’operazione come abbiamo fatto per la moltiplicazione tenendo conto che se abbiamo un resto nella divisione tipo 7/3= 2 con resto 1 dobbiamo aggiungere il resto della divisione al resto del quoto (Il quoto e il risultato intero della divisione senza decimali altrimenti si chiamerebbe quoziente). (Resto Quoto)XResto divisore +resto divisione = resto dividendo. Se mettiamo in colonna le operazioni seguenti vediamo che :

12 x 12 x

 3 =   3 =

 36  63  

 La seconda è evidentemente falsa eppure la prova del nove funzionerebbe lo stesso infatti se il resto di 12 è 3 quello di 3 è se stesso quelli di 36 è zero e lo stesso per 63, quindi nel primo caso 3x3= 9 = 0 0 = 0 in tutti e due i casi la prova del nove non fallisce ma non si può decidere in base ad essa, quale sia la corretta, certo è impossibile fare un tale errore quando si fanno calcoli in colonna così semplici, ma qualora avessimo un numero di fattori, molto più numerosi o più grandi, o facessimo fare l’operazione ad un computer questo, banale errore diverrebbe più probabile. Se la prova del nove venisse fatta da un calcolatore, lo scambio di cifre potrebbe avvenire, scambiando le locazioni di memoria delle varie cifre, una tale prova non può quindi essere usata nei computer, se non con un algoritmo di correzione, per l’inversione delle cifre. 

  Non ho ancora finito

Esiste la prova del 7?

Vediamo di verificare, se esiste la prova del nove, anche in sistemi posizionali diversi dal decimale. Un sistema posizionale è un qualsiasi sistema che permette di scrivere un numero utilizzando il sistema dell’abaco in maniera virtuale. Un abaco era l’antenato del pallottoliere era in argilla o legno e aveva delle scanalature dove si mettevano delle palline per il calcolo quando una di queste era piena di un numero tot di palline poniamo dieci, se ne metteva una nella scanalatura affianco di fatto il sistema arabo o posizionale faceva altrettanto solo che usava la carta e dei simboli per indicare il grado di riempimento, delle “scanalature” virtuali che in questo modo potevano essere almeno potenzialmente infinite, il sistema rendeva facili tutte le operazioni, e per questo uccise tutti i precedenti sistemi che servivano solo a memorizzare i calcoli che venivano fatti con l’abaco. Un sistema posizionale può essere di qualsiasi tipo i computer usano quello binario visto che la loro logica e matematica non può che basarsi che un sistemo binario con valori acceso-spento, vero-falso, 0-1 . Possiamo però usare anche un sistema con otto cifre cioè da zero a sette quindi 123₈ = 1x8² + 2x8¹ + 3x8⁰ = 64₁₀+ 16₁₀+3₁₀ = 83₁₀ i numeri in pedice dicono in quale base stiamo scrivendo un numero. Per facilitare i calcoli successivi scriviamo le tabelle della somma e della moltiplicazione in base l’equivalente quindi delle tavole pitagoriche o nel caso del sistema binario delle tavole di verità:

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