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Terzo quadrante

Quando l'angolo si trova nel terzo quadrante puo' essere pensato in due modi diversi: o come 180° + alfa o come 270° - alfa
Un angolo di 210° puo' essere pensato come 180° + 30° oppure 270° - 60°
Il primo metodo e' il piu' usato, ma anche l'altro puo' essere utile

•  180° +

•  270° -

Terzo quadrante: 180° +

Se il punto P corrisponde all'angolo 180° + allora il punto Q corrispondera' all'angolo
I triangoli PHO e QKO sono uguali: avro'
PH = QK   cioe'   sen(180° + ) = -sen
OH = OK   cioe'   cos(180° + ) = -cos

Ricordando la seconda relazione fondamentale avremo anche
tang(180° + ) = tang
in concordanza col fatto che la tangente e' periodica di periodo 180°

Terzo quadrante: 270° -

Se il punto P corrisponde all'angolo 270° - allora il punto Q corrispondera' all'angolo
I triangoli PHO e QKO sono uguali: avro'
PH = OK    cioe'    sen(270° - ) = -cos
OH = QK   cioe'    cos(270° - ) = -sen

Ricordando la seconda relazione fondamentale avremo
tang(270° - ) = cotg     
cotg(270° - ) = tang  

continua

Secondo quadrante

Quando l'angolo si trova nel secondo quadrante puo' essere pensato in due modi diversi: o come 90° + alfa o come 180° - alfa
Un angolo di 120° puo' essere pensato come 90° + 30° oppure 180° - 60°
Il secondo metodo e' il piu' usato, ma anche l'altro puo' essere utile

•  90° +

• 180° -

Secondo quadrante: 90° +

Se il punto P corrisponde all'angolo 90° + allora il punto Q corrispondera' all'angolo
I triangoli PHO e QKO sono uguali: avro'
PH = OK   cioe'   sen(90° + ) = cos
OH = QK   cioe'   cos(90° + ) = -sen nella seconda c'e' il segno cambiato perche' le due espressioni hanno segno opposto (il coseno OH nel secondo quadrante e' negativo mentre il seno QK nel primo quadrante e' positivo)

Ricordando la seconda relazione fondamentale avremo
tang(90° + ) = - cotg    
cotg(90° + ) = - tang

Secondo quadrante: 180° -
(angoli supplementari)

Se il punto P corrisponde all'angolo 180° - allora il punto Q corrispondera' all'angolo
I triangoli PHO e QKO sono uguali: avro'
PH = QK   cioe'   sen(180° - ) = sen
OH = OK   cioe'   cos(180° - ) = -cos
nella seconda c'e' il segno cambiato perche' le due espressioni hanno segno opposto (il coseno OH nel secondo quadrante e' negativo mentre il coseno OK nel primo quadrante e' positivo)
Domanda di Pierino

Domanda:
"Perche' cos(180-) che e' negativo ha segno piu' mentre cos che e' positivo ha segno meno?"
Risposta
"Il segno meno non ha niente a che fare con il segno dell'espressione: indica solo che la seconda e' di segno contrario alla prima"

Ricordando la seconda relazione fondamentale avremo anche
tang(180° - ) = - tang

archi associati 0

Primo quadrante (angoli complementari)

Consideriamo nel primo quadrante l'angolo ed anche l'angolo (90 - )
L'angolo che resta tra (90 - ) e l'asse verticale vale anche lui
Se io considero come origine degli archi B ho che il triangolo OQK e' il triangolo con lati il seno ed il coseno
Se io considero come origine degli archi A ho che il triangolo OPH e' il triangolo con lati il seno ed il coseno
Essendo gli angoli () uguali i due triangoli saranno uguali.
Se considero l'angolo (90 - ) il triangolo con lati il suo seno ed il suo coseno sara' OQH' ed e' uguale ai precedenti
Quindi osservando l'uguaglianza dei lati posso scrivere
QH' = OH    cioe'    sen(90 - ) = cos
OH' = PH     cioe'    cos(90 - ) = sen
Cioe'
Due angoli complementari (la cui somma e' 90°) scambiano fra loro il seno ed il coseno

Applicando la seconda relazione fondamentale avrai poi che
tang(90 - ) = cotg
cotg(90 - ) = tang

archi associati

Primo quadrante (angoli complementari)

Consideriamo nel primo quadrante l'angolo α ed anche l'angolo (90 -α)
L'angolo che resta tra (90 - α) e l'asse verticale vale anche lui α
Se io considero come origine degli archi B ho che il triangolo OQK e' il triangolo con lati il seno ed il coseno
Se io considero come origine degli archi A ho che il triangolo OPH e' il triangolo con lati il seno ed il coseno
Essendo gli angoli (α) uguali i due triangoli saranno uguali.
Se considero l'angolo (90 -α ) il triangolo con lati il suo seno ed il suo coseno sara' OQH' ed e' uguale ai precedenti
Quindi osservando l'uguaglianza dei lati posso scrivere
QH' = OH    cioe'    sen(90 - α) = cos α
OH' = PH     cioe'    cos(90 - α) = sen α
Cioe'
Due angoli complementari (la cui somma e' 90°) scambiano fra loro il seno ed il coseno

Applicando la seconda relazione fondamentale avrai poi che
tang(90 -α) = cotg α

cotg(90 -α) = tang α