Matematica Insieme

V postulato di Euclide

Per secoli i matematici hanno ritenuto che il quinto postulato dovesse essere una conseguenza dei primi quattro e si sono adoperati, inutilmente, per dimostrarlo. Tanta ostinazione da parte degli studiosi di geometria nel cercare di dimostrare il postulato delle parallele - a cominciare da Proclo (IV secolo a.C.) fino a Saccheri (1667-1733) e Lambert (1728-1777) - non risiedeva nel fatto che essi dubitassero della sua verità (nessuno dubitava che la geometria euclidea fosse l'unica geometria possibile) ma nel carattere essenzialmente diverso che il quinto postulato aveva rispetto agli altri. I primi quattro postulati sembravano godere di una maggiore evidenza; nel quinto postulato entrava infatti in gioco una proprietà che non è verificabile in una regione finita di piano (dire che due rette sono parallele equivale a dire che non si incontrano per quanto possano essere prolungate). Per di più Euclide aveva introdotto molto tardi, negli Elementi, il quinto postulato dimostrando prima ben 28 teoremi; ciò faceva ritenere che lo stesso Euclide nutrisse qualche dubbio sul fatto che tale asserzione non potesse discendere dai primi quattro postulati. Questo enorme sforzo di studio e di ricerca, per quanto in alcuni casi si avvalesse di sottili argomentazioni logiche, non portò che a una serie di dimostrazioni sbagliate; nessuno, prima di Gauss, Lobacevskij e Bolyai, accettò l'idea che il problema così come era posto non poteva essere risolto (cioè nessuno accettò l'idea che il postulato delle parallele fosse logicamente indipendente dai primi quattro) e che quindi si fosse autorizzati, sul piano logico, a sostituire il quinto postulato con un'assunzione alternativa sviluppando così una nuova geometria. 

Bisogna aspettare la prima metà del 1800 perché la questione venga affrontata in modo radicalmente diverso dal russo Lobacevskij e dall'ungherese Bolyai (vedi cronoasse); i due matematici si convinsero infatti, l'uno indipendentemente dall'altro, che il quinto postulato non fosse una conseguenza dei precedenti e lo sostituirono con un'ipotesi alternativa:

• (P5') Per un punto che giace al di fuori di una retta si possono tracciare più rette che non incontrino la retta data.

Svilupparono così uno dei due possibili rami della geometria non euclidea: la geometria non euclidea iperbolica. Lobacevskij pubblicò il suo lavoro nel 1829 e Bolyai nel 1832. Prima di loro, tuttavia, anche il grande Gauss (1777-1855) era arrivato a conclusioni e risultati simili senza tuttavia pubblicarli. 

Il primo modello di geometria iperbolica fu dato nel 1868 dal matematico italiano Eugenio Beltrami (1835-1900). Un secondo importante modello per la geometria iperbolica è quello di Henri Poincaré (1854-1912). Un modello di un sistema assiomatico è un insieme "concreto" di oggetti geometrici che verifichino gli assiomi del sistema. Nei modelli di Beltrami e Poincaré sono verificati tutti gli assiomi euclidei tranne il quinto postulato ed è inoltre verificato l'assioma P5' (negazione di P5). Si chiude così la millenaria questione dell'indipendenza logica del quinto postulato: esistono sistemi geometrici alternativi a quello euclideo del tutto ragionevoli e dotati di coerenza interna in cui i postulati P1-P4 "convivono" con la negazione di P5. Il quinto postulato è dunque indimostrabile. 

Si osservi che il quinto postulato può essere negato anche in un altro modo:

• (P5") (Assioma ellittico o di Riemann) Tutte le rette passanti per un punto che giace al di fuori di una retta data incontrano tale retta (quindi due rette si intersecano sempre, non esistono rette parallele).

Si arriva così all'altro possibile ramo della geometria non euclidea: la geometria ellitticasviluppata da Riemann (dissertazione presso l'università di Gottinga del 1854, vedi cronoasse). 

Bisogna dire che l'assioma P5" porta con sé una profonda modificazione del sistema euclideo (intendendo con sistema euclideo sia l'insieme dei postulati esplicitamente dichiarati sia l'insieme di quelli tacitamente assunti). Nel sistema euclideo si può infatti dimostrare l'esistenza di rette parallele anche senza mettere in gioco il quinto postulato (mentre non è possibile dimostrare l'unicità della parallela per un punto esterno ad una retta data, qui entra in campo il postulato delle parallele); quindi il sistema euclideo, pur privato di P5, sarebbe contraddittorio se si assumesse P5". Devono perciò essere modificate altre assunzioni. 

Ora, senza entrare nel merito di questioni troppo tecniche, diciamo che l'assunzione dell'assioma ellittico P5" conduce a due diversi tipi di geometria ellittica: la geometria sferica (di cui ci occuperemo noi) e il sistema geometrico in cui punti diametralmente opposti sulla sfera vengono identificati. Si parla rispettivamente di geometria ellittica doppia (double elliptic geometry) e di geometria ellittica semplice (single elliptic geometry). Sia in un caso che nell'altro oltre all'assunzione dell'assioma ellittico al posto del quinto postulato occorre modificare altre delle assunzioni euclidee; in particolare in geometria ellittica doppia, la geometria sulla sfera di cui ci occuperemo, cade l'assunzione che per due punti passi un'unica retta e le rette saranno linee chiuse, di lunghezza finita ma illimitate, nel senso che potremo percorrerle senza mai arrestarci. 

La geometria sulla superficie di una sfera  rappresenta un modello di geometria ellittica doppia. In questo modello interpreteremo come piano la superficie della sfera, come punto un punto della superficie sferica e come retta una circonferenza massima.  La geometria sulla sfera è il modello più semplice di geometria non euclidea ed è quello più vicino alla nostra intuizione.

A proposito dello sviluppo della geometria non euclidea si è parlato, giustamente, di "rivoluzione copernicana" nel pensiero matematico; ecco cosa scrive Lucio Lombardo Radice: 

Ciò che colpisce in Lobacevskij (e in Bolyai, che poco dopo Lobacevskij raggiunse risultati equivalenti) è il fatto che, dal punto di vista matematico, la lettura delle loro opere non richiede conoscenze che vadano al di là di quelle "euclidee". E ciò che colpisce forse ancora di più è il fatto che alcuni dei principali teoremi della nuova "geometria generale" siano antecedenti alla sua fondazione: si trovino nell'opera, ad esempio, di Gerolamo Saccheri, "euclideo" convinto, un secolo prima che non nei Principi della geometria di Lobacevskij o nel Tentamen di Bolyai, che non nelle opere cioè dei fondatori della nuova geometria. Il paragone che viene alla mente (e che da altri è stato già fatto) è piuttosto quello con la rivoluzione copernicana. Nella rivoluzione non-euclidea come in quella copernicana il fatto nuovo non consiste tanto e soltanto nell'apporto di nuovo materiale, di nuove scoperte, quanto in un capovolgimento del "punto di vista". 

Baviello Raffaella IB CAT