Calcolo dell’area di una figura piana
1°parte
= strategia progettuale
nodi concettuali:
concetto di piano e di superficie,
misura
classe: seconda media
prerequisiti:
Il ragazzo deve conoscere il piano
e le principali figure geometriche, deve conoscere il concetto di congruenza,
di equivalenza e di equiscomponibilità.
Valutazione dei prerequisiti:
i prerequisiti vengono valutati in classe attraverso una discussione e degli
esercizi/verifaca da svolgere individualmente. Ad esempio un lavoro con i pentamini
può essere molto utile: ai ragazzi si danno 5 foglietti (tipo post-it) e gli si
chiede di accostare i quadrati facendo coincidere i lati per ottenere dei
poligoni, prima con solo due quadratini, poi con tre, poi con quattro ed infine
con cinque. Trovare tutte le soluzioni e rappresentarle su di un foglio a
quadretti. Ai ragazzi viene chiesto di definire, delle soluzioni che hanno
trovato, quali sono congruenti, quali equivalenti, quali equiscomponibili.
Ovviamente (a meno di ripetizioni) non ci sono figure congruenti, e se i
ragazzi hanno ben chiaro il concetto dovrebbero identificarlo subito.
tempi : 18/20 ore
obiettivi di apprendimento:
- riprodurre figure e disegni
geometrici, utilizzando in modo appropriato e con accuratezza opportuni
strumenti (riga, squadra, compasso, software di geometria).
- conoscere definizioni e proprietà
significative delle principali figure piane
- descrivere figure complesse e costruzioni geometriche al fine di
comunicarle ad altri
- calcolare l’area di semplici
figure scomponendole in figure elementari, ad esempio triangoli
- stimare in eccesso o in difetto
l’area di una figura delimitata da linee curve
- risolvere problemi utilizzando le
proprietà geometriche delle figure
2°parte=strategia operativa
fase 0: presentazione/motivazione
discussione attorno alla seguente situazione:
“Lo Zio Mario, contadino maldestro, vuole seminare un campo di patate e si reca
al consorzio per comprarle. Quando però l’addetto gli chiede: “Quante ne vuole?
Quanto è grande il suo campo?” lo zio Mario rimane perplesso perché tenta di
farglielo vedere con un ampio gesto delle braccia, ma il suo campo è troppo
grande per riuscire a rappresentarlo come si deve in quel modo. Al povero
contadino non resta da fare altro che tornare a casa e misurare quanto è grande
il suo campo.
Altra situazione proposta ia
ragazzi: “sapreste dire quanto è grande il pavimento della nostra aula? E
quallo della vostra cameretta? E la superficie occupata da casa vostra?
Ma che cosa vuol dire misurare
superfici? È come misurare delle lunghezze?
metodologia:
brainstorming/discussione sul concetto di misura al termine del quale si
dovrebbe arrivare ad enunciare una definizione di misura di questo tipo:
“misurare una grandezza vuol dire confrontarla con un’altra omogenea, fissata
come unità di misura, per stabilire quante volte quest’ultima è contenuta in
quella da misurare”. Esempi pratici con alcune delle unità di misura note ai
ragazzi, come il metro.
perché: introdurre ai ragazzi una situazione dove rientra il
concetto di superficie e di misura della stessa. Ripassare il concetto di
misura, indispensabile per poter calcolare un’area.
Obbiettivi formativi: - sa il concetto di misura di una
lunghezza e inizia ad adattarlo anche al concetto di superficie
tempi: 2 ore
fase 1: come si misura una superficie e
l’unità di misura da usare
ai ragazzi viene dato un foglio di
carta millimetrata dove ognuno deve disegnare il contorno di un oggetto che ha
nell’astuccio: gomma, forbici, penna, scolorina ecc…Ai ragazzi si
chiede:”Sapreste contare quanti quadratini sono contenuti nella sagoma che
avete disegnato? E’ possibile fare un conteggio preciso?” L’attività proposta è
quella di prendere un’unità di misura compatibile con la carta millimetrata e
contare quante volte questa è contenuta nella superficie delimitata dal
contorno dell’oggetto: ad ognuno si dà la possibilità di scegliere quale unità
di misura usare, se i quadrati piccolissimi (mm²), quadrati medi (quelli con il
lato di 5mm) o quadrati grandi (cm²). Al termine del lavoro ognuno riferisce
alla classe quanti quadratini sono contenuti nella sagoma che ha disegnato.
Viene fatta una breve discussione con i ragazzi su quale delle unità di misura
usate sia stata la più efficace per descrivere al meglio la superficie dei loro
oggetti. Non solo, ai ragazzi viene fatto notare che i quadratini che anno
contato possono essere contati per eccesso o per difetto e che si può fare una
media per avere una buona approssimazione.
Metodologia: lavoro
individuale e riflessioni dell'intera classe/brainstorming
Perché: fare cimentare i
ragazzi con un problema pratico di misura di una superficie e di scelta di
un’unità di misura appropriata.
Obbiettivi formativi: - sa
confrontare ciò che ha creato con gli elaborati dei compagni
-sa scegliere
un’unità di misura in modo appropriato
-sa contare
quante volte una unità di misura è contenuta in una figura sia per eccesso che
per difetto
tempi: 3 ore
fase 2: qual è l’unità di misura che si usa per descrivere delle
superfici e come è fatta?
ai ragazzi viene spiegato che la
comunità internazionale ha trovato comoda come unità di misura per le superfici
il metro quadrato, definito come la superficie di un quadrato avente il lato
lungo un metro. Vengono definiti anche il decimetro quadrato, il centimetro
quadrato e il millimetro quadrato, oltre che il decametro quadrato, l’ettometro
quadrato e il kilometro quadrato. La classe viene divisa in 5 gruppi, ognuno
dei quali dovrà delimitare una superficie pari al mm², al cm² e al dm² (in
aula, ritagliando la carta millimetrata) e al m² e al dam² (nell’atrio della
scuola, utilizzando metro, bindella e nastro adesivo di carta (come quello da
pittore) lungo le fughe delle piastrelle). Una volta costruiti i nostri modelli
si fa prendere confidenza ai ragazzi con le loro dimensioni ad esempio
chiedendo (e andando a misurarlo effettivamente) quanti ragazzi possono stare
su di una superficie di 1 dam², quanti su di una superficie di 1 m², quanti su
di un dm² ecc… Ma anche quanti dei dm² costruiti stanno nel m², quanti m² nel
dam²,ecc… Si intavola anche una discussione con i ragazzi di quale sia l’unità
di misura più appropriata per misurare un campo da calcio, un’aula, un banco,
un libro, il quadretto di un quaderno ecc…
metodologia: lavoro di
gruppo, esperienza pratico-sensoriale e brainstorming/ discussione
perché: prendere confidenza
con le grandezze di superficie normalmente utilizzate nella vita reale e
intuire i rapporti che ci sono tra le stesse.
Obbiettivi formativi: - sa
costruire modelli reali
- sa confrontare le unità di misura e ordinarle dalla più
piccola alla più grande
- sa utilizzare l’unità di misura più appropriata per
misurare un “oggetto” reale
tempi: 2 ore
fase 3: dalla misura al calcolo dell’area
Capita che cos’è una superficie e
come si misura, vengono spiegate le formule per calcolare l’area dei triangoli
e quadrilateri.
Area del rettangolo: ai
ragazzi viene fatto disegnare su un foglio un rettangolo di base 5 cm e altezza
3 cm. A ciascuno vengono dati una ventina di quadrati di carta di 1 cm² e viene
chiesto loro di vedere quante volte i quadratini sono contenuti nel rettangolo
(15). Quindi il rettangolo avrà un’area di 15 cm² . Ai ragazzi viene fatto
notare che per “riempire” il mio rettangolo ha usato tre file di quadratini da
5 quadratini: 3 file x 5 quadratini per fila = 15 quadratini. Lo stesso
risultato io lo posso raggiungere moltiplicando la lunghezza della base del
rettangolo per la sua altezza. Per calcolare l’area di un rettangolo sarà
quindi sufficiente moltiplicare il valore della base per l’altezza:
A = b X h.
Area del quadrato: Ai
ragazzi viene fatto disegnare un quadrato di base 3 cm e come prima viene
chiesto loro di riempire l’area del quadrato con i quadratini da 1 cm². Quanti
quadratini ci stanno? Alla luce di questa esperienza ed alla luce del fatto che
studiando il quadrato abbiamo visto che è un particolare tipo di rettangolo
(avente la base congruente all’altezza) possiamo dire che per calcolare la sua
area possiamo quindi applicare la stessa formula del rettangolo: A= b X h = l X l = l² , da cui si ricava anche che l = √A
Area parallelogrammo: a
ciascun ragazzo viene fatto disegnare e ritagliare un parallelogrammo. Ad
ognuno viene chiesto di tracciarne l’altezza relativa ad un vertice. A questo
punto viene chiesto ai ragazzi di tagliare lungo l’altezza tracciata e di
traslare il triangolo ottenuto come in figura.
Che cosa si è ottenuto? Un rettangolo equivalente
avente per base la stessa base del parallelogramma e per altezza la stessa altezza. Quindi l’area di un
parallelogramma si può ottenere semplicemente moltiplicando la misura
della base per l’altezza.
Area del triangolo: ai ragazzi viene fatto disegnare
un triangolo qualsiasi e un altro congruente. Gli viene chiesto di ritagliare
uno dei due triangoli e di disporlo come in figura. Che cosa si ottiene? Si
ottiene un parallelogramma che ha un’estensione doppia de nostro triangolo e le
stesse base ed altezza.
Quindi l’area di un triangolo si ottiene moltiplicando la
misura della base per quella dell’altezza ad essa relativa e dividendo tale
prodotto per due. A = (b X h)/2.
Verifica intermedia: a questo punto delle lezioni è
meglio fermarsi e programmare una piccola esercitazione con i ragazzi a cui
seguirà una verifica, per valutare se i concetti espressi fino a questo punto
sono stati assimilati e sono chiari. La verifica dovrà comprendere domande
sulle unità di misura delle superfici ed esercizi di calcolo delle aree di triangoli,
quadrati, parallelogrammi e triangoli.
Una volta appurato che la classe ha compreso le cose
trattate e che i concetti principali sono chiari, si può procedere con la
trattazione dei restanti argomenti, altrimenti bisogna provvedere con strategie
alternative, ripassi o programmi paralleli per i “ritardatari”.
Area del rombo: ai ragazzi viene chiesto di disegnare
un rombo. Dai vertici traccino le parallele alle diagonali. La figura che si
ottiene dall’intersezione di queste linee è un rettangolo. A questo punto si
propone ai ragazzi di ritagliare il rettangolo e poi di tagliare lungo i lati
del rombo. Come i ragazzi possono vedere, i quattro triangoli ottenuti si
possono sovrapporre perfettamente al rombo di partenza.
Quindi il rombo è equivalente alla metà di un rettangolo che
ha per base e per altezza rispettivamente le due diagonali del rombo. L’area
del rombo si ottiene moltiplicandole misure delle due diagonali e dividendo
tale prodotto per due: A = (d1 X d2)/2.
Area del trapezio: ai ragazzi viene chiesto di
disegnare due trapezi congruenti a piacere e di ritagliarli. Viene poi chiesto
loro do posizionare i trapezi come in figura.
che figura abbiamo ottenuto? Un parallelogramma che è
equivalente al doppio del trapezio di partenza, la cui base è data dalla somma
delle due basi del trapezio e la cui altezza è pari a quella del trapezio
stesso. L’area del trapezio sarà quindi data da: A = ((b1 + b2) X h)/2.
Area di un poligono qualsiasi: Nella vita di tutti i
giorni spesso si presenta il problema di dover calcolare l’area di un poligono
che non rientra in nessuno dei casi studiati. Per calcolarne l’area il metodo
più semplice è quello di scomporli in figure note: triangoli, parallelogrammi,
trapezi, ecc… I ragazzi vengono portati in aula computer a lavorare con un
software appropriato (ad esempio cabri o geogebra) a disegnare i poligoni più
strani ed irregolari e a divertirsi a trovare il modo di scomporli in figure
note come detto prima. Con cabri i ragazzi possono anche verificare le formule
per il calcolo dell’area spiegate in precedenza. Quindi i ragazzi vengono
divisi in sei gruppi (cioè gruppi di 3-4 persone) e a ciascun gruppo viene
affidato un compito da verificare:
- un gruppo verificherà (con la funzione assi cartesiani)
la suddivisione esatta di una serie di rettangoli in quadratini e farà lo
stesso per alcuni quadrati
- Un gruppo disegnerà diversi parallelogrammi (come si
disegna un parallelogrammo?lati opposti paralleli!) e verificherà quanto
spiegato con delle traslazioni
- Un gruppo disegnerà dei triangoli e dopo averli copiati
e traslati verificherà che si ha veramente dei parallelogrammi (i lati opposti
sono paralleli?)
- Un gruppo lavorerà sui rombi e verificherà quanto
spiegato
- Un gruppo lavorerà sui trapezi allo stesso modo del
gruppo dei triangoli
- Un gruppo lavorerà su una serie di poligoni verificando
che si possono scomporre in figure “note” (la cui area è quindi facilmente
calcolabile)
metodologia: spiegazione
frontale, lavoro di gruppo, esperienze pratiche, discussioni, lavoro con il
computer
perché: imparare le formule
per il calcolo dell’area di triangoli e quadrilateri
Obbiettivi formativi: - sa
costruire modelli e li sa usare, confrontare, associare
- conosce e ha capito il significato delle formule per il
calcolo dell’area e le sa applicare
- sa applicare le formule anche a situazioni più
complesse
- sa usare software informatici
tempi: 12 ore (+3 se si fa
anche il lavoro con cabri)
fase 4: conclusione/
verifica sommativa
alla fine del lavoro ai ragazzi viene proposta una verifica
sommativa scritta sotto forma di test e di semplici problemi da risolvere per
appurare che i concetti siano passati e che i ragazzi abbiano sviluppato le
capacità previste.
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