elaborando

Numeri da 1 a 6, la soluzione

La soluzione del secondo dei due problemi proposti ieri, presi da "Enigmi critici e bizzarri", implica qualche ragionamento sull' "aritmetica dei multipli".

Si immagini di aver disposto i numeri da 1 a 6 lungo i lati del triangolo. Se si sommano i valori lungo ciascun lato, si nota che i numeri posti sui vertici del triangolo vengono contati due volte, gli altri una volta sola. Quindi la "somma delle somme", ottenuta sommando tra loro le somme dei numeri su ciascun lato, sarà uguale alla somma dei numeri da 1 a 6, che fa 21, più i tre numeri posti nei vertici.

I numeri più piccoli che possiamo disporre nei vertici sono: 1, 2 e 3. Quindi la "somma delle somme" farà: 21 + 1 + 2 + 3 = 27, e la somma su ciascun lato sarà di 27/3 = 9.
Immaginando di porre 1 sul vertice in alto, 2 e 3 agli estremi della base, allora: 9 - (2 + 3) = 4 andrà al centro della base, 9 - (1 + 2) = 6 andrà sul lato sinistro, 9 - (1 + 3) = 5 sul lato destro.

I numeri maggiori che possiamo sistemare nei vertici sono 4, 5 e 6. La "somma delle somme" farà: 21 + 4 + 5 + 6 = 36 e la somma su ciascun lato sarà di 36/3 = 12.
Con un ragionamento simile al caso precedente, posto 6 sul vertice in alto, 4 e 5 agli estremi della base, si avranno: 3 al centro della base, 2 sul lato sinistro, 1 sul lato destro.

Le altre combinazioni possibili di numeri da disporre sui vertici si ottengono osservando intanto che la loro somma S deve essere multipla di tre, in modo che la somma di ciascun lato: (21 + S)/3 sia intero. E poi scartando i casi in cui i numeri mancanti siano già presenti oppure siano minori di 1 o maggiori di 6.

Le possibilità si restringono quindi a:
1, 2 e 6 (S = 9 --> Lato = (21 + 9)/3 = 10, non dà soluzioni perché: 10 - (1 + 2) = 7)
1, 3 e 5 (S = 9 --> Lato = 10, fornisce una soluzione)
1, 5 e 6 (S = 12 --> Lato = 11, non dà soluzioni perché: 11 - (5 + 6) = 0)
2, 3 e 4 (S = 9 --> Lato = 10, non dà soluzioni perché: 10 - (4 + 3) = 4, quindi si avrebbe una ripetizione)
2, 4 e 6 (S = 12 --> Lato = 11, fornisce una soluzione)
3, 4 e 5 (S = 12 --> Lato = 11, non dà soluzioni perché: 11 - (3 + 4) = 4, quindi si avrebbe una ripetizione)

Credo che il miglior momento per questo post sia ora, in un tardissimo pomeriggio di un sabato di agosto ...
Buona serata!