elaborando

Chi ricorda il criterio di divisibilità per 3? Basta sommare le cifre e verificare se quella somma è divisibile per 3: se lo è, allora anche il numero iniziale è un multiplo di 3, altirmenti ciccia. Lo stesso criterio vale per la divisibiltà per 9. Per 11, invece, vale un altro criterio: alla somma delle cifre con posizione pari si sottrae la somma delle cifre con posizione dispari; se il risultato è divisibile per 11, bene, altrimenti ciccia. Tutta roba della matematica delle scuole medie, se ricordo bene.

Nove e undici hanno una posizione privilegiata, si trovano ai due lati di dieci, la base di numerazione del nostro sistema di conteggio.
Immaginiamo di voler verificare la divisibiltà per 11 del numero scritto in base decimale come ABCD.
Il suo valore è: 1000 x A + 100 x B + 10 x C + D, che si può anche scrivere come:
(1001 - 1) x A + (99 + 1) x B + (11 - 1) x C + D.
I termini 1001, 99 e 11 sono multipli di 11 e quindi sono ininfluenti nel calcolo; la divisibiltà di ABCD per 11 si può dedurre perciò dalla divisibilità per 11 di: - A + B - C + D, come appunto prevede il criterio.
Quindi tutto si gioca sul fatto che le potenze di 10, divise per 11, danno alternativamente resto 1 e -1. Questo si verifica semplicemente. Il resto di mettiamo 1.000.000 è 1. La potenza di 10 successiva, 10.000.000 è la somma di 10 volte 1.000.000, quindi il suo resto, quando diviso per 11, sarà 10 volte 1, cioè 10 = 11 - 1. Resto che si può scrivere anche come -1.
Allo stesso modo, il resto della potenza ancora successiva, 100.000.000 sarà dieci volte -1, quindi -10 = -11 + 1. Quindi 1, e così via di potenza in potenza.

E, a proposito di divisibilità, Polymath propose nel novembre del 2006 questo simpatico problema.

312) Trova A e B
Il numero di cinque cifre A679B, in base dieci, è divisibile per 72. Qual è il valore di A e di B?

Non è difficile, basta osservare che 72 = 9 x 8, che il numero A679B lo si può immaginare scritto come A6000 + 79B. Che il primo è divisibile per 8, e che perché lo sia anche il secondo allora B deve valere ...

Buona domenica, che sia perfettamente divisibile in 24 ore di serenità.