elaborando

Il romanzo "La solitudine dei numeri primi" di Paolo Giordano ha portato a una certa notorietà i numeri primi gemelli, chissà quando la ribalta toccherà ai loro amici, i numeri primi cugini e a quelli sexy.

Tutto si basa su un'osservazione: i numeri primi, esclusi 2 e 3, sono dispari e non multipli di tre, quindi della forma: 6n + 1 oppure 6m - 1. Infatti un multiplo di 6 è pari e multiplo di 3, quindi sommandogli o sottraendogli 1 si ottiene un numero dispari che non è più divisibile per 3.

I numeri primi gemelli sono quelle coppie di primi separati da un solo numero: 6n - 1 e 6n + 1. Esempi: 5 e 7, 11 e 13, 17 e 19. Non tutti i multipli di 6 separano due primi gemelli; ad esempio: 23 e 25 sono separati da 24, multiplo di 6, ma 25 è 52.

Via via che si avanza, i primi gemelli, così come i primi, diventano più radi, eccone una coppia simpatica: 1.000.000.061 e 1.000.000.063. Proseguono all'infinito? Questa è solo una congettura, termine che in matematica indica quelle affermazioni per le quali ci sono buoni motivi per pensare che siano vere, nessuno ha dimostrato che non lo siano, ma purtroppo nemmeno nessuno ha ancora dimostrato in modo rigoroso che siano vere. Sarebbe una sorpresa se, da una certa coppia in avanti non ce ne fossero più, ma probabilmente non sarà così. Altro mistero, ben più complesso del precedente: con che regola si presentano? Boh.

Cosa hanno di bello i primi gemelli? Da un punto di vista "estetico" la faccenda di essere così vicini che più vicini non si può, ma sempre distinti e separati. È proprio di questo tipo il legame tra i protagonisti del libro di Giordano. Dal punto di vista matematico, invece, si ha che, proprio per loro stessa definizione, sommando 1 al prodotto di una coppia di numeri primi gemelli si ottiene un quadrato perfetto:

(6n - 1) x (6n + 1) + 1 = 36n2 - 1 + 1 = 36n2 = (6n)2

I numeri cugini sono invece quelli della forma: 6n + 1 e 6n + 5. Non sono separati quindi da un numero pari, ma da un multiplo dispari di 3, e cioè: (6n + 3). Esempi: 7 e 11 (separati da 9), 43 e 47 (separati da 45). Sono coppie di numeri un po' più sfigati: abbastanza vicini, ma non troppo, difficile che qualcuno ci scriva un romanzo e non ho trovato in giro per Internet nessuna curiosità matematica al loro riguardo. Proprio come tra cugini, insomma.

E anche i primi sexy, sono un po' dei millantatori. Il nome non lo prendono da una particolare attrazione esercitata, ma dal latino sex, cioè sei: sono quelle coppie di numeri primi che differiscono di 6: 7 e 13, 13 e 19, 17 e 23 e così via, quindi della forma: 6n - 1 e 6n + 5.

Perché c'è chi si mette a studiare (giocare?) con queste cose? Immagino che se lo stia domandando chi ha avuto la pazienza di arrivare fin qui. È un po' come avere una torcia che emette una timida luce, ed esplorare intorno a noi nel buio di una notte senza luna: si punta in una direzione, si fissano dei riferimenti e poi si gira la torcia da un'altra parte. Via via quello che ci circonda diventa meno misterioso e più familiare.

O forse è perché c'è chi ama avere delle domande a cui rispondere.

Buon venerdì. Un po' di sexy ci sarà di sicuro, oggi è il 26.

[Nell'immagine la sintesi del post: era dei Gemelli, sexy e avrà anche avuto dei cugini, no?]