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Esercizio sulla Forza di Lorentz (raggio di Larmor)

Post n°20 pubblicato il 07 Maggio 2012 da rebel_mc
Foto di rebel_mc

Un fascio di protoni inizialmente in quiete viene accelerato tramite una d.d.p. (differenza di potenziale) DV = 1000 V ed entra in una regione di spazio ove è presente un campo di induzione magnetica B = 0.1 T uniforme (vedi figura). Calcolare il raggio della traiettoria circolare percorsa all'interno della regione di campo magnetico e le coordinate del punto di uscita.

Soluzione.
All'esterno della zona di campo magnetico è presente un generatore di tensione formato da due piastre metalliche (una delle quali forata), in modo da accelerare i protoni inizialmente fermi e farli entrare attraverso i fori con una certa velocità v nella regione di campo magnetico B. I protoni si trovano inizialmente immersi in un campo elettrico dovuto alla d.d.p. DV presente tra le piastre metalliche del generatore di tensione. Sia A il punto di partenza (con velocità nulla) e C il punto di ingresso nella regione di campo magnetico. Il punto C è quindi il punto nel quale dobbiamo calcolare la velocità di ingresso dei protoni. Dal teorema dell'energia cinetica si ha che

L(A --> C) = Ec(C) - Ec(A)

L(A --> C) = Ec(C)   [poichè Ec(A) = 0 per ipotesi]

ma il lavoro è  L = q DV   [lavoro della forza elettrostatica]

quindi

q DV = 1/2 m v2

dove q è la carica del protone

DV è la d.d.p. tra le piastre del generatore di tensione

m è la massa del protone

v la velocità nel punto C (punto di ingresso nella zona con campo magnetico B).
Dalla formula di prima troviamo

v = (2 q DV / m)

A questo punto i protoni entrano nella zona di campo magnetico, il quale è diretto perpendicolarmente alla traiettoria d'ingresso ed ha verso uscente dal piano del foglio.

Essi risentono della Forza di Lorentz data dalla formula  FL = q v x B

(in grassetto sono rappresentate quantità vettoriali)

il prodotto vettoriale ha modulo qvB in quanto i vettori v e B sono tra loro ortogonali, quindi

FL = q v B

Nota: grazie alla regola delle tre dita possiamo notare come la direzione del vettore FL sia sempre a destra della traiettoria e perpendicolare ad essa. ne risulta quindi una forza centrale e di conseguenza una traiettoria complessiva di forma circolare con raggio R.
R viene chiamato raggio di Larmor (o di ciclotrone).

Percorrendo una traiettoria circolare i protoni avranno accelerazione centripeta e dal secondo principio della dinamica:

FL = m a

ma = m v2 / R

quindi

FL = m v2 / R

q v B = m v2 / R

R = m v / q B

Se sostituiamo l'espressione trovata prima per v si ha

R = (m / q B)  (2 q DV / m )  = (2m DV / q B2) = 4.5 cm

m = 10-27 kg;  q = 10-19 C; DV = 1000V; B = 0.1 T.

Se fissiamo l'origine degli assi cartesiani nel punto di ingresso (punto C) allora il punto di uscita D (vedi fig.) avrà coordinate

D = (0; - 2R).

 
 
 
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