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moto parabolico - il lancio del giavellotto

Post n°11 pubblicato il 18 Ottobre 2010 da rebel_mc
 

 
Il record del mondo di lancio del giavellotto appartiene all'atleta Ceco Jan Železný che nel Maggio del 1996 raggiunse la distanza di ben 98,48 metri! Considerando trascurabile l'attrito dell'aria e l'influenza del vento sulla traiettoria, calcolare la velocità iniziale v0 (in m/s) impressa al giavellotto dall'atleta per un angolo di lancio a = 45° rispetto al suolo.
Se invece supponiamo che la forza impressa dall'atleta nel lancio sia sempre costante e che  possa essere variato solo l'angolo, per quale valore di
a si ottiene la gittata massima?

Soluzione.
Questo problema si può facilmente affrontare con le leggi del moto parabolico, possiamo immaginare un piano perpendicolare al suolo (un grande foglio) che contenga il lanciatore stesso, la traiettoria ed il punto di impatto del giavellotto.
Per prima cosa assegniamo un sistema di riferimento cartesiano che combaci proprio col piano di cui parlavamo ed in cui l'origine sia nella posizione del lanciatore all'istante iniziale e l'asse delle X sia parallelo al terreno (vedi figura). Le equazioni che ci servono per questo tipo di moto sono quattro: 

  1. coordinata x = velocità lungo x per tempo

  2. coordinata y = velocità lungo y per tempo, “meno” un fattore dovuto all'accelerazione di gravità moltiplicato per il tempo al quadrato

  3. velocità lungo x = modulo della velocità iniziale v0 per il coseno dell'angolo a

  4. velocità lungo y = modulo della velocità iniziale v0 per il seno dell'angolo a “meno” un fattore dovuto all'accelerazione di gravità moltiplicato per il tempo

come si vede tutti e quattro questi parametri sono funzioni esplicite del tempo e le componenti x non dipendono da g.
Dal momento in cui lascia la mano dell'atleta il giavellotto risente solo della forza peso e quindi dell'accelerazione di gravità, la quale ovviamente sarà diretta verso il basso [ vettore g = (0: - g) ], per cui

 x(t) = v0 cos (a) t           y(t) = v0 sin (a) t - ½ g t 2

vx(t) = v0 cos (a)            vy(t) = v0 sin(a) -g t

Per trovare la gittata cioè la distanza coperta dal giavellotto prima di cadere al suolo possiamo usare la seconda equazione “imponendo” y(t) = 0, in questo modo troviamo il tempo necessario a percorrere tutta la traiettoria fino al momento dell'impatto al suolo:

 ½ g t 2 – v0 sin (a) t = 0   “ho cambiato tutti i segni dell'equazione 2”

 ½ g t – v0 sin (a) = 0        “ho diviso ambo i membri per t”

 t = (2 v0 /g ) sin (a)          “isolo la variabile t”

quest'ultimo è quindi il tempo di arrivo al suolo. Se lo inseriamo nella prima equazione, quella della coordinata x(t), troveremo la distanza coperta dal giavellotto, cioè la gittata:

x(t) =  v0 cos (a) (2 v0 /g ) sin (a)  =  (2 v0 2 /g ) sin (a) cos (a)

L = (2 v0 2 /g ) sin (a) cos (a)                 > gittata <

Dai dati del problema conosciamo a ed L ma ci manca v0, possiamo perciò sfruttare una formula inversa:

 v0 2 = g L / (2 sin (a) cos (a) ) → v0 = {g L / [2 sin (a) cos (a) ])}

sostituendo i valori numerici si trova v0 = 31,1 m/s    (circa 110 Km/h)

Per calcolare l'angolo di lancio iniziale che dia valore massimo alla gittata bisogna considerare quest'ultima come una funzione della sola variabile a :

 L (a) = (2 v0 2 /g ) sin (a) cos (a)

con v0 e g costanti. I teoremi fondamentali dell'Analisi ci dicono che se calcoliamo la derivata prima di L rispetto ad a e la poniamo uguale a zero troveremo il punto (o i punti) di massimo e di minimo di tale funzione:

L ' (a) = 0 (2 v0 2 /g ) [ cos2(a) - sin2(a) ] = 0

cos2(a) - sin2(a) = 0 cos2(a) = sin2(a) →    a =  p/4   ±  1/2 k p      k = 0, 1, 2, ...

Quindi l'angolo di 45° “massimizza” la funzione gittata.

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