MARCO PICCOLO

Vi sono due elementi sconcertanti in questa storia. Il primo è che l'amico si sia effettivamente presentato giovedì sera, nonostante il ragionamento elegante e apparentemente impeccabile di GVG. Il secondo è che, presentandosi giovedì sera, l'amico ci abbia colto di sorpresa  mantenendo in tal modo la propria promessa! E avrebbe mantenuto la promessa anche se si fosse presentato domenica, o un altro giorno qualsiasi: proprio in quanto la logica dichiarava impossibile il verificarsi di una visita a sorpresa, la visita  avrebbe sorpreso i padroni di casa in qualunque giorno fosse avvenuta. Come a dire: la visita è stata una sorpresa proprio a causa del ragionamento sbagliato. Ma dove sta l'errore di ragionamento? Tanto per cominciare, se di sbaglio si tratta, non è certo uno sbaglio banale. Nel 1948, il filosofo Donald John ÒConnor pubblicò un articolo sulla rivista inglese Mind nel quale suggeriva che situazioni come queste sono impossibili. Secondo ÒConnor, chiunque minacciasse una VISITA a sorpresa come quella dell'amico scocciatore commetterebbe un errore in quanto si impegnerebbe a mantenere una promessa irrealizzabile. Visto come sono andate le cose, è evidente che ÒConnor si sbagliava tanto quanto noi. E si sbagliava proprio perchè per esaudire la propria promessa l'amico non aveva che da bussare alla porta in un momento qualunque della settimana. Lo stesso sbaglio è presente in altri articoli apparsi su Mind in quegli anni, tutti dedicati allo studio di problemi analoghi. Vi è anche chi ha osservato che se l'amico avesse minacciato di effettuare la sua visita  un giorno futuro qualsiasi, e non un giorno della settimana seguente (o comunque di un periodo ben determinato), nessuno avrebbe commesso l'errore di ragionamento di cui stiamo parlando. Infatti il ragionamento procede a ritroso, scartando prima l'ultimo giorno possibile, poi il penultimo, e così via fino al primo giorno possibile. Se non ci fosse un ultimo giorno possibile, non vi sarebbe un primo passo nel ragionamento, e quindi niente sbaglio. Anche così però le cose non vanno. Nell'ipotesi che io e mia sorella non vivessimo in eterno, la promessa di una visita  deve essere realizzata entro un tempo finito. Quindi potremmo semplicemente allungare il ragionamento quel tanto che basta, cominciando da un giorno di nostra scelta molto lontano nel futuro, per ottenere esattamente lo stesso risultato. Allungare la serie non cambia la natura del problema. E il problema non cambia nemmeno accorciando la serie. Supponiamo che l'amico dica «Verrò o domani o dopodomani, ma voglio farvi una sorpresa.» Evidentemente qui saremmo tentati di scartare prima dopodomani e poi domani, e quindi di concludere che l'amico non verrà. Ma altrettanto evidentemente, nulla impedisce al nostro amico di farsi vivo e di sorprenderci con la propria VISITA. Solo se dicesse «Verrò domani, ma voglio farvi una sorpresa» avremmo il diritto di obiettare. Domani il nostro amico non potrà certo venire, perchè altrimenti si contraddirebbe. Dove sta dunque l'errore? Parte della risposta è implicita nella spiegazione che abbiamo dato di quest'ultimo caso. La formulazione corretta della conclusione non è che domani l'amico non verrà; è che se venisse si contraddirebbe, ossia non manterrebbe fede alla propria promessa (di farci una sorpresa). La precisazione è cruciale, visto che evidentemente il nostro amico è libero di venire (e di contraddirsi). Quindi, anche nel caso della promessa distribuita su una intera settimana, la conclusione che siamo autorizzati a trarre, ragionando secondo lo schema da cui siamo partiti, non è che l'amico non potrà venire di domenica, ma solo che non potrà venire di domenica a meno di invalidare la propria promessa. Non potrà venire di sabato a meno di invalidare la propria promessa. E così via: non potrà venire nessun giorno della settimana a meno di invalidare la propria promessa. Il che tuttavia non esclude che possa venire. Tant'è vero che verrà. Questo spiega il primo elemento sconcertante nella storia : il fatto che l'amico si sia effettivamente presentato giovedì sera non contraddice la logica, perchè la logica esclude solo che l'amico potesse presentarsi senza venir meno ALLA propria promessa. Resta ancora da spiegare il secondo fatto sconcertante. Perchè, come abbiamo visto, presentandosi di giovedì l'amico non contravviene affatto ALLA propria promessa: la sorpresa c'è stata, eccome! Ci accorgiamo di essere finiti in un circolo vizioso. Se assuMIAmo che l'amico manterrà fede ALLA propria promessa, allora deduciamo logicamente che non potrà fare la sua visita, il che tuttavia contraddice la promessa stessa. Ma se non assumiamo che l'amico manterrà fede alla propria promessa, allora non abbiamo più alcun fondamento razionale per dedurre logicamente in che giorno verrà, il che tuttavia verificherebbe la promessa stessa. In breve: mantenendo la propria promessa l'amico finirebbe col violarla; ma violandola finirebbe col mantenerla. In un articolo apparso su Le Scienze qualche anno fa, e ristampato successivamente nel quarto volume di Enigmi e Giochi Matematici (Firenze, Sansoni, 1990), il filosofo e matematico Martin Gardner osservava in effetti che la circolarità in questione presenta tutte le caratteristiche di un vero e proprio paradosso del mentitore: Il signor Rossi dice: «Ciò che Bianchi sta per dire è vero». Al che il signor Bianchi aggiunge: «Ciò che Rossi ha appena detto è falso». Quindi Rossi ha detto il vero se e solo se ha detto il falso, e così pure Bianchi. Come uscirne? A questo punto la soluzione è ovvia, anche se Mind dovette aspettare cinque anni prima di pubblicarla (a firma del filosofo W.V.O. Quine): l'errore sta nel primo passo del ragionamento. Non solo non siamo autorizzati a dedurre con certezza che «L'amico non potrà venire di domenica». Non possiamo nemmeno dedurre con certezza che «L'amico non potrà venire di domenica a meno di invalidare propria promessa». Tutto quello che possiamo dedurre, una volta giunti al sabato sera, è questo: «O domani il nostro amico verrà e noi adesso non lo sappiamo; o domani il nostro amico non verrà e noi adesso non lo sappiamo; o domani il nostro amico verrà e noi lo sappiamo già adesso (il che però non è vero, visto che l'amico può benissimo tirarci un bidone); oppure domani il nostro amico non verrà e noi lo sappiamo già adesso (e anche questo non è vero, visto che l'amico può benissimo contraddirsi e venire).» Le prime due ipotesi sono le uniche possibili. E se è vero che il verificarsi della seconda ipotesi significherebbe che il nostro amico è un bugiardo (in quanto non manterrebbe la promessa di farci VISITA), il verificarsi della prima ipotesi significherebbe esattamente il contrario (l'amico verrebbe e ci farebbe una sorpresa, proprio come promesso). La morale, cari Amici miei, è che dipende tutto dallo scocciatore: l'infame è un bugiardo, o è un tipo che solitamente mantiene le promesse?