COMUNI-CARE

Soluzione

Per il teorema della corda                           = 2r sen (π/4 )= r√2,  dove r è il raggio del cerchio.

Poiché il raggio OB  forma con la  corda AB un angolo di π/4  e un angolo retto con la retta t  gli angoli richiesti  hanno ampiezza 3 π/4  e π/4, rispettivamente.

Seconda parte:

Indicando con x l’ampiezza degli angoli  e  e applicando il teorema dei seni ai  triangoli CAB BAC

= sen(π/4)/sen(3 π/4  -x)   = r√2/(cosx + senx)→

= sen(π/4)/sen(3π/4  -x)    =r√2/(cosx - senx)→

EQUAZIONE RISOLVENTE

cosx +sen x +cos x –sen x =k(cos ²x – sen²x) →2cosx =2k cos ²x-k→

2k cos ²x-2cosx –k=0

 limitazioni dell’incognita

 0≤x<π/4

Analisi dei casi-limite

X=0→  ac e AD coincidono con AB

La relazione diventa   r√2+r√2= kr√2→ k=2

X=π/4    la semiretta AD è parallela alla retta t e il punto D tende all’infinito

AC è perpendicolare a t  ed ha lunghezza  r ( dal triangolo rettangolo isoscele ABC)

Il valore di k tende ad infinito

Discussione

Ponendo  cos x = x e cos ²x=y  si ottiene il sistema

Y=x²

2ky-2x-k=0   fascio di rette         k(2y-1)-2x=0  di  centro   P(0;1/2)

√2/2

Estremi dell’arco di parabola

A(√2/2 ; ½)   B(1;1)

Rette limite   :

PA    ovvero la retta  y=1/2 che  coincide con la retta esclusa e corrisponde ad un valore infinito di k

PB retta PB che corrisponde al valore K =2

Risultato

1 soluzione per  k ≥2