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Ah, la prostaferesi! (14 febbraio 1468)

Post n°1796 pubblicato il 14 Febbraio 2014 da tanksgodisfriday
 
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Il

problema principale da affrontare disegnando una mappa geografica è quello di riportare fedelmente sul piano quello che in natura è più o meno sferico (la Terra).

Come si genera una mappa?
Si proietta la superficie tonda della Terra su un cono o un cilindro (esterni alla Terra stessa), che poi viene tagliato lungo una direttrice e disteso sul piano, senza che si deformi.
Altro modo per creare una mappa terrestre è quello di proiettare la superficie della Terra da un punto su un piano tangente alla Terra.
In ogni caso, la proiezione può conservare la forma dei territori, oppure la loro estensione, o ancora mantenere in proporzione le distanze tra punti della Terra, ma queste cose non si possono avere tutte insieme.

Le mappe a cui siamo abituati oggi, ad esempio, riportano in modo fedele la forma, ma mentono sulla dimensione.
Si può verificare facilmente con la Google Map, confrontando la Groenlandia e l'India.
Quale dei due territori è più esteso? La Groenlandia? Errore, vince l'India con 3.287.263 kmq, contro i 2.166.086 kmq della Groenlandia.

Questo tipo di proiezione ha però il pregio di lasciare inalterata la forma dei vari territori. Quindi, ad esempio, l'andamento delle coste della Groenlandia e dell'India è proprio quello disegnato sulla Google Map.

Non è stato sempre così. Le prime mappe, prodotte agli inizi del 1500 dall'austriaco Johannes Stabius (Stab), riportavano più o meno fedelmente l'estensione dei territori, a scapito però della forma.
Chi assicurò fortuna alle mappe di Stab fu Johann Werner, cartografo e matematico tedesco di Norimberga, che ne pubblicò il metodo nel 1514.

Per singolare coincidenza, la raffigurazione della Terra nella proiezione Stabius-Werner ha la forma di un cuore, cosa quanto mai appropriata, visto che Johann Werner nacque il 14 febbraio del 1468.

Non solo mappe

Johann Werner è però noto agli studenti liceali non tanto per le mappe, quanto per le "formule di Werner" e le "formule di prostaferesi".

Se non ricordo male è roba del 3° anno di liceo, nella materia forse più pallosa del corso di studi scientifico: la trigonometria (sempre che si insegni ancora, la terza liceo l'ho fatta nel '68, non so se rendo l'idea).
Bene: la prima formula di Prostaferesi è "sen-alfa più sen-beta è uguale a due sen-alfa-più-beta-mezzi per cosen-alfa-meno-beta-mezzi".
E poi ce ne sono altre tre, con miscele varie di seni e coseni, tripudi orgiastici di alfa e beta che si sommano, si sottraggono, si dimezzano. Un incubo.

Le formule di Werner, altre quattro, sono il colpo di grazia sul liceale già sofferente per la prostaferesi (triste anticipazione, almeno per assonanza, delle future afflizioni senili), al suono di "sen-alfa-cosen-beta è uguale a un mezzo della somma di sen-alfa-più-beta ...".

A discolpa del Werner, le formule elencate hanno avuto un'importanza cruciale nel semplificare i calcoli in astronomia, fondamentali nel 500 per determinare la posizione della propria nave rispetto alle stelle, e navigare in mare aperto senza perdersi.

Trasformare le moltiplicazioni in addizioni

Il perché è presto spiegato: se il prodotto due cose (sen-alfa e sen-beta) può essere trasformato nella somma di due altre cose correlate (seno-di-alfa-più-beta e seno-di-alfa-meno-beta), allora si risparmia un sacco di tempo nei calcoli, rendendo fattibile nella realtà quello che altrimenti rimarrebbe tale solo sulla carta.
Per due motivi: si riduce drasticamente il tempo di calcolo (se si impiegano giorni a "fare il punto", non si sa più dove ci si trovi realmente), e si aumenta la precisione del risultato (più il calcolo è lungo e complesso, più è probabile commettere errori).

Ci vorrà un altro secolo perché nel 1614 Nepero introduca i logaritmi (altro incubo del liceo dei miei tempi), che semplificano ulteriormente i calcoli: il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi. Più facile di così, si muore.

Il regolo calcolatore

Quando ero al Politecnico (mi sembra di risalire alla preistoria), i calcoli ingegneristici si facevano con il regolo calcolatore, basato proprio sui logaritmi di Nepero e rimasto sostanzialmente immutato dagli anni della sua invenzione, intorno al 1630.

Feci appena in tempo a passare l'esame di Fisica Tecnica, che le prime calcolatrici elettroniche (quelle della Texas Instruments, do you remember?) scesero a prezzi abbordabili, rimanendo però proibite in sede di esame.

Verrebbe da pensare che il regolo logaritmico sia stato preceduto dal regolo prostaferico.
Invece no, un regolo di questo tipo è stato ideato, ma solo per scopi didattici, nel 2004, da due ricercatori: David B. Sher e Dean C. Nataro.

Il mio regolo calcolatore è custodito nel cassetto dello studio di casa, se volete potete dargli un'occhiata qui.
Qualche anno fa ne comprai per pochi euro un altro, molto semplice, su una bancarella a Chiavari. Era ancora nella confezione originale, e tutto lascia pensare che non avesse mai eseguito un calcolo, che so, neanche un semplice 7 x 9.

L'ho poi donato a una indomita fanciulla, per ricambiare gli innumerevoli outlook che mi regala. Con l'intenzione di pareggiare in gentilezza, naturalmente.

Buon venerdì (e buon San Valentino).

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