elaborando

1) a cu.. ehm ..cioè.. a intuito, comincia per 4 e finisce per 2; 2) l'area del cerchio di raggio 2 meno l'area del cerchio di raggio 1 , però non ho voglia di fare i calcoli ... buon lunedì ^__^

bevuto troppo per fare questi calcoli!!!! ciao!!!

La circonferenza interna è un po' più piccola della metà di quella grande ...
Per il primo problema: scoprire l'ultima cifra è proprio facile facile, basta partire da 2^4 = 16 e notare che se un numero finisce con 6, le sue potenze ...

Il secondo problema: 3*pigrego? Buon anno ^_^ !!!

Primo problema: le cifre potrebbero essere 603. Per gli altri quesiti ci devo pensare ...

2 alla 2011 dovrebbe iniziare per 1 e finire per 8 ... forse ... ciaooo

Per ora mi è venuta in mente solo la soluzione "scolastica":
2011 * log(2) = 605.371321
quindi: 606 cifre e, poiché:
10^0,371321 = 2,35137015
le prime cifre della potenza sono: 23513 ...

Poi c'è il metodo "forza bruta":
2^2011 =
2351371663921673265628842396011892703277
7066538776477705782123250191693033315744
0277843862797620484079297733558064632376
0019699631847537318760307417429305723681
3821776959954944141061969559561189668644
2475650019829312748469547803369364105269
3308750929324134329511165927607186014323
1654225825006432659524133139285792560017
1019473673184886607992629114422272878597
5638151697009090726548199040855270766250
3363911474257186432414060515001147834337
9319299155741560631484253296553540791648
3361998478483796594334830191115954708798
0205831458699684763425848480539161635929
1962984085181994635193249304954575153212
162048

Ho cercato di arrivarci per approssimazione ma forse ho approssimato troppo!!! ^_^ Per sapere quante cifre ha: 2^10 è approssimabile a 10^3, 2^20 a 10^6, 2^30 a 10^9 ... così via ... 2^2000 circa 10^600, 2^2010 circa 10^603, 2^2020 circa 10^606. Quindi 2^2011 ha un numero di cifre compreso tra 603 e 606. Metodo troppo empirico, lo ammetto eheheh. In effetti la potenza inizia per 2 e finisce per 8 (avevo fatto il procedimento giusto ma i calcoli errati!!!). Calcolando le prime 20 potenze si asserva che le cifre di inizio e di fine si ripetono periodicamente. In particolare le cifre di inizio con periodo 10 e quelle di fine con periodo 4. Non so se mi sono spiegata ... forse no.

L'approccio è "ingegneristico" (tra 603 e 606 è esatto!), e quindi mi piace :-)))
Forse si può raffinare un po', osservando che 2^10 = 1024 = 1.024E3 (E3 sta per: per dieci Elevato alla 3).
Poi che 2^20 = 1.05E6 (arrotondando per eccesso). Questo perché, se sviluppo il binomio (1 + x)^2, posso trascurare x^2, finché x è piccolo rispetto a 1.
Ho provato a seguire la tua strada, ma mii si sono incrociati gli occhi intorno a 2^640 :-)))

L'ultima cifra, è invece predicibile, perché ciclerà tra:
2 --> 4 --> 8 --> 6 --> 2 --> ...

nel documento a cui fai riferimento il problema originale sulla potenza di 2 e' un po' diverso. data la premessa "potete usare solo riga e compasso", sembra che non richieda di calcolare logaritmi. anche se... tra gli sponsor c'e' texas instruments, che produce varie calcolatrici scientifiche avanzate.
in effetti penso di aver trovato una soluzione abbastanza semplice, ma prima di pubblicarla devo verificarla.
ciao

Per un attimo ho temuto che scrivessi: "ma il margine è troppo piccolo per contenerla" ...

il margine no; invece dopo le abbuffate natalizie sono diventati troppo piccoli i jeans. :-)
la mia soluzione era sbagliata.
e' sbagliata anche la generalizzazione di Nathalie del fatto che la prima cifra si ripete con periodo 10: ad esempio 2^102 = 5070602400912917605986812821504.
il motivo e' che, come hai fatto osservare tu, nel quadrato (1+x)^2 il termine in 2x si puo' trascurare se x e' molto piu' piccolo di 1... ma se continui a moltiplicare per (1+x) un numero di volte dell'ordine di 1/2x, l'errore diventa importante.
nel nostro caso, 1000/48 ~ 20, e quindi gia' intorno alla potenza 20 * 10 = 200 e' garantito che l'approssimazione si rompe. in realta' si rompe molto prima (alla 102).