elaborando

5a + 2g che diventano 5a + 4g, per trasformarsi in 9g. direi che 5a+2g=12g. un triangolo rettangolo che abbia l'altezza relativa all'ipotenusa lunga metà dell'ipotenusa stesso, direi 45°, come si possa risolvere il secondo senza andare per tentativi mi sfugge

beh, basta considerare che in un triangolo rettangolo due altezze coincidono con i due cateti, quindi il problema consiste nel trovare quale triangolo rettangolo ha l'ipotenusa pari al doppio dell'altezza ad essa relativa.
se si etichettano i vertici con A, B e C in modo che l'ipotenusa sia BC, e con H l'altro estremo dell'altezza relativa all'ipotenusa, la similitudine tra i triangoli ABC e HBA impone che AH/AB = AC/BC, e tenendo presente che vogliamo AH = BC/2, si ottiene la relazione BC^2 = 2 AC AB.
d'altra parte il teorema di pitagora dice BC^2 = AB^2 + AC^2
quindi la relazione diventa AB^2 + AC^2 = 2 AC AB, ovvero (AC-AB)^2 = 0, che vale solo se AB = AC, cioe' se il triangolo rettangolo e' anche isoscele.

Ho fatto un ragionamento più "corto".
Una volta capito che l'altezza relativa all'ipotenusa è metà dell'ipotenusa, ho considerato la semicirconferenza in cui è inscritto il triangolo, che ha il diametro pari all'ipotenusa. A questo punto l'altezza relativa all'ipotenusa, lunga quanto il raggio, non può che passare per il centro della circonferenza.

Qualche tentativo (pochi), con calcoli a mente, e qualche considerazione sulla divisibilità.

ho sempre avuto una grande passione per le potenze :oD Il N. dovrebbe essere 3, ma non ho voglia di verificarlo.. pigrizia domenicale. Buona domenica a chi legge. Manu

Yes, ha a che fare con il 3 ...

sulla potenza: intanto deve essere un numero di due cifre, perche' 10^6 ha 7 cifre e 100^6 ne ha 13.
guardando meglio, si trova che deve essere maggiore di 20 (perche' 2^6 = 64, quindi arriverebbe ad appena 8 cifre) e minore di 40 (perche' 4^6 = 4096, e arriveremmo a 10 cifre).
poi, bisogna considerare che N^6 e' divisibile per 3 (i criteri di divisibilita' per 3 e per 9 rimangono validi anche se si riordinano le cifre), quindi N deve essere un multiplo di 3.
al terzo tentativo ci siamo. io pero' ho avuto bisogno di carta e penna per i calcoli...

Calcolato anch'io ma, con il senno di poi, si risolverebbe anche a mente.
Basta considerare ancora la cifra finale del risultato: non può essere, ad esempio, 6 (manca tra le cifre del numero).

eh, si'. e manca anche l'1 ... bastava un solo tentativo.

Mannaggia, stavolta arrivo tardi: avete già messo tutte le soluzioni...

Ma ce ne sono altri!
Il n.ro 11 (che ho lasciato a metà, perché ero fuso):
Qual è il più piccolo numero intero positivo che, moltiplicato per 4, dà un numero che si scrive con le stesse cifre, scritte però nell'ordine inverso?

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