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Post n°1535 pubblicato il 14 Giugno 2010 da tanksgodisfriday

Tag: numeri-e-giochi

Due

problemi proposti nel primo round delle South African Mathematics Olympiad, lo scorso marzo. I problemi posti in questa edizione e in quelle passate si trovano sul sito della SA Mathematics Foundation.

Primo problema.
Le due circonferenze tangenti tra loro, riportate a sinistra nell'immagine, hanno raggio 1. Quanto misura il lato del quadrato mostrato in figura?

Secondo problema.
Il rettangolo ABCD è diviso verticalmente in tre strisce rettangolari uguali. La linea AE è tracciata in modo che l'area di GBEF misura il doppio dell'area di FECM. Quanto misura il rapporto tra l'area di AIH e quella di ABCD?

Buon lunedì.

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peppe il 19/06/10 alle 20:05 via WEB

per il primo problema, credo che 0.2 sia il valore di x, cioe' meta' del lato del quadratino.
per il secondo problema, assegniamo arbitrariamente ad ABCD area 1. il rettangolo GBCM allora ha area 1/3, e visto che le aree di GBEF e CEFM sono in rapporto 2:1, risultano rispettivamente pari a 2/3 * 1/3 = 2/9 e 1/3 * 1/3 = 1/9.
pero' l'area di GBEF e' anche uguale alla differenza tra le aree dei triangoli ABE e AGF, che sono simili al triangolino AIH: l'area di ABE e' 3*3 = 9 volte l'area di AIH e quella di AGF e' 2*2 = 4 volte l'area di AIH (si puo' vedere facilmente tracciando due righe orizzontali passanti per H ed F), quindi l'area di GBEF e' 9-4 = 5 volte l'area di AIH. Ne deriva che l'area di AIH e' 1/5 * 2/9 = 2/45 dell'area di ABCD.
ciao, peppe (in ritardo...)

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