elaborando

dunque, prendiamo il triangolo di lato 1. il teorema di pitagora ci permette di calcolare agevolmente l'altezza come sqrt(1-1/4) = sqrt(3)/2 e quindi l'area come sqrt(3)/4.
ora usiamo il "metodo lune" [*] per dire che se un lato del triangolo tocca n cerchi di raggio r allora e' lungo approssimativamente 2 n r. ci sono 1 + 2 + ... + n = n (n + 1)/2 cerchi, ognuno ha un'area pigreco / (2 n)^2 e quindi complessivamente hanno una superficie pigreco / (2 n)^2 * n(n+1)/2 .
il rapporto tra l'area dei cerchi e quella del triangolo e' quindi pigreco n(n+1)/2 / (2 n)^2 * 4/sqrt(3) = pigreco /(2 sqrt(3)) *(n+1)/n. al limite per n tendente all'infinito, (n+1)/n tende a 1, e il rapporto tende a pigreco / (2 sqrt(3)) = 0.9 circa.
buona notte.
[*] in realta' la relazione che lega il raggio dei cerchi con il lato del triangolo e' un po' piu' complicata: 2 r (n - 1) + 2 r sqrt(3) = 1, dove il secondo termine a sinistra tiene conto della zona vicino ai due vertici del lato del triangolo, ma diventa insignificante rispetto al primo quando n tende all'infinito.
intuitivamente, piu' i cerchi si rimpiccioliscono, meglio riempiono il triangolo, anche vicino al vertice.