TRA FISICA E REALTA'

Cosa nasconde il concetto di <<dimensione>>?...Quando ci imbattiamo in una curva siamo portati a ritenerre che essa èuna figura ad una dimensione.Il suo concetto si può rendere abbastanza semplicemente : se uno vuole dividerne una,lunga un metro,in parti lunghe un centimetro,gli bastera' spezzarla in cento parti.Se invece vuole decompore una superficie di un metro quadrato in tanti centimetri quadrati,sarà costretto a frazionarla in diecimila parti.Infine,se ha l'intenzione di dividere un cubo di un metro al cubo in parti di un metro al cubo,sarà costretto a parcellizarlo in un milione di parti.Nella definizione delle diverse dimensioni c'è dunque una graduatoria...Infatti,se si vuole commentare questa formalizzazione si dirà che <<la dimensione della curva è uno,la dimensione della superficie è due,la dimensione del cubo è tre.>> Analogo discorso potrebbe ripetersi per gli spazi funzionali,pervenendo anche alla dimostrazione che questo tipo di dimensione,detta di Hausdorf,per gli spazi funzionali piu' interessanti è infinita.Ma sono facilmente distinguibili la dimensione finita e infinita degli spazi funzionali?...non sempre e non facilmente.Il cammino di individuazione e di separazioni degli spazi di dimensione infinita è costellato da mille insidie.Insidie che talvolta non sono molto dissimili dalla individuazione degli spazi di dimensione finita.Per il resto sono problemi che si imbizzarriscono nel paradosso,costringendo lo studioso ad una analisi più accurata rispetto a quella necessaria per trasporre dal finito all'infinito.Prima di oltrepassare questa soglia dobbiamo essere consapevoli che ci stiamo imbarcando con un Caronte che ci porta difilato <<nel mondo dei paradossi dell'infinito>> e di conseguenza in un campo in cui l'intuizione matematica,nata dall'osservazione fisica,deve essere controllata e guidata da accortezze di tipo logico.Pena le più penose delle contraddizioni.Per me gli spazi di dimensione infinita sono come il cortile di casa mia.Mi muovo con estrema sicurezza intuitiva,comprendendo a prima vista dove l'analogia col finito funziona e dove l'analogia degli spazi di dimensione finita cessa di avere efficacia.(Questa mia estrema concisione mi ha spesso inimicato il mondo accademico).Dallo studio degli spazi funzionali sono passata (assai brillantemente) alla <<teoria geometrica della misura>>...dove ho lasciato un impronta indelebile.Ora,quali sono i rapporti di questa teoria con lanalisi funzionale? Permettetemi di risponderre con un esempio.Anzi con un paradosso.In matematica i più interessanti spazi funzionali sono quelli che contengono anche figure e curve non continue,tracciate,disegnate male,deformi,sbilenche,storte,composte da linee spezzettate,da tratti e salti configurati nei modi più strani.Insomma,si arriva a una curva e a un disegno non più disegnabile o del tutto incomprensibile.Ebbene,dopo esservi sbizzarriti in questo guazzabuglio,avete risposto al primo <<ricatto>> dell'Analisi Funzionale : per ricavarvi teoremi significativi occorre avere uno spazio funzionale <<completo>>,cioè contenente curve regolari e figure che non lo sono affatto e non facilmente riconducibili alle solite figure geometriche piane alle quali siamo abituati.Dunque,come procedo?...dapprima inserisco quest'accozzaglia di funzioni,figure e curve quanto più strampalate possibili (come le <<funzioni misurabili>>,cioè a bassissimo indice di regolarità,ideate da H.Lebesgue).Fatto questo mi è possibile dare una ragionevole definizione della quadratura delle superfici.Per riepilogare,sono passata,in questi ultimi 3 posts,dall'Analisi Funzionale,alla teoria geomentrica della misura ed ora alla definizone della quadratura delle superfici.Di che cosa si tratta?...Minouche.