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PARABOLE E INTERSEZIONI

Un esempio di parabola, detto parabola canonica, in quanto il vertice della conica corrisponde all'origine degli assi cartesiani. In matematica, la parabola (dal greco: παραβολή) è una particolare figura contenuta nel piano. Si tratta di una particolare sezione conica, come l'ellisse e l'iperbole. Può essere definita come il luogo dei punti equidistanti da una retta (detta direttrice) e da un punto (detto fuoco). La parabola è un concetto importante in matematica ed ha numerose applicazioni in fisica ed in ingegneria. Definizione [modifica] Una parabola è una figura geometrica che può essere caratterizzata in vari modi equivalenti. Sezione conica [modifica] La parabola è una sezione conica: si ottiene come intersezione di un cono infinito con un piano parallelo ad una retta generatrice. Una parabola è una sezione conica, ovvero una figura che si ottiene come intersezione fra un cono circolare ed un piano. Il tipo di sezione conica dipende dalla inclinazione del piano rispetto al cono. Una retta generatrice del cono è una retta contenuta nella superficie del cono. Una parabola è una curva ottenuta come intersezione di un cono circolare e un piano parallelo ad una retta generatrice del cono. Se il piano non è parallelo ad una retta generatrice, si ottengono altre sezioni coniche, quali ad esempio l'ellisse o l'iperbole. Luogo geometrico [modifica] Una parabola può anche essere definita come luogo geometrico nel modo seguente. Una parabola è l'insieme dei punti del piano equidistanti da una retta d (detta direttrice) e da un punto F (detto fuoco) non contenuto in d. Una parabola è il luogo dei punti equidistanti tra il punto F(fuoco) e la retta d(direttrice rappresentata nel grafico con la lettera L). Nel disegno, i segmenti FPi e PiQi hanno la stessa lunghezza (per i = 1,2,3). In altre parole, una parabola è l'insieme dei punti P tali che, indicata con Q la proiezione ortogonale di P sulla retta d, sono uguali tra loro le lunghezze dei segmenti La retta passante per F e ortogonale alla direttrice costituisce l'asse di simmetria della curva. L'intersezione dell'asse di simmetria con la parabola, punto medio tra il fuoco e la sua proiezione sulla direttrice, si dice vertice della parabola. La parabola, in geometria descrittiva, è anche il luogo geometrico dei centri delle circonferenze tangenti una circonferenza ed una retta.[1] Equazione cartesiana della parabola [modifica] In geometria analitica, il piano è dotato di coordinate cartesiane ortogonali, e una parabola può essere descritta come luogo di punti che soddisfa un'equazione di un certo tipo. Una parabola è l'insieme dei punti (x,y) del piano cartesiano che soddisfano una equazione quadratica del tipo dove: Equazioni quadratiche con condizioni diverse da h2 = ab descrivono altre coniche, quali ad esempio l'ellisse e l'iperbole. Operando una rotazione che trasforma l'asse della parabola in una retta parallela all'asse delle ordinate si può ottenere una espressione più semplice, del tipo: con . Se invece la rotazione trasforma l'asse in una retta parallela all'asse delle ascisse l'equazione diventa: Caratteristiche [modifica] Parabola con asse verticale (parallelo all'asse y delle ordinate) [modifica] Discriminante: Δ = b2 − 4ac Equazione dell'asse di simmetria: Coordinate del vertice: Coordinate del fuoco: Equazione della direttrice: Parabola con asse orizzontale (parallelo all'asse x delle ascisse) [modifica] Discriminante: Δ = b2 − 4ac Equazione dell'asse di simmetria: Coordinate del vertice: Coordinate del fuoco: Equazione della direttrice: Coefficienti dell'espressione polinomiale [modifica] Ciascuno dei coefficienti nell'espressione y = ax2 + bx + c ha un ruolo particolare. Il coefficiente a [modifica] Il coefficiente a determina la convessità della parabola: a > 0: concavità verso l'alto a < 0: concavità verso il basso a = 0: la parabola è sovrapposta sull'asse delle ascisse Il suo significato risulta evidente nel caso particolare (b = 0, c = 0) in cui l'equazione si riduce alla Il coefficiente b [modifica] Il coefficiente b è legato alla posizione dell'asse della parabola (la retta verticale passante per il vertice), che ha equazione . che si trova derivando la funzione e ponendola uguale a zero. Infatti non avendo massimi, il significato della derivata prima ci restituirà la posizione del minimo, ossia del vertice. Da notare che, restando fisso il coefficiente c, che determina l'intersezione con l'asse delle ordinate, e facendo variare valore di b, la parabola passerà sempre per quel punto. In particolare, la retta tangente alla parabola nel punto di incontro con l’asse delle ordinate, ha pendenza pari a b. Questo significa che se b vale zero, l’asse della parabola coincide con l’asse delle ordinate. Mentre la derivata prima, potrà essere facilmente individuata in quanto il suo punto di incontro con l'asse delle ascisse sarà pari all'ascissa del vertice (-b/(2a)), mentre l'incontro con l'asse delle ordinate sarà pari al valore di b. Il coefficiente c [modifica] Come accennato, il coefficiente c determina il punto di intersezione della parabola con l'asse delle ordinate. Ciò è facilmente verificabile mettendo a sistema l'equazione dell'asse y con quella di una generica parabola: Se il termine c è nullo, la parabola passa per l'origine degli assi. Parabola dati tre punti appartenenti ad essa [modifica] Dati tre punti A, B, C, di coordinate note, si potranno trovare i coefficienti a, b, c dell'equazione che rappresenta la parabola passante per tali punti attraverso un sistema di tre equazioni, andando a sostituire le incognite x ed y con le coordinate dei punti di partenza. Retta tangente a una parabola in un suo punto [modifica] Data l'equazione generale della parabola: y = ax2 + bx + c ed un punto P(d,f(d)) la formula per trovare la retta tangente nel suo punto P è: y = (2ad + b)x − ad2 + c Basta trovare la derivata della parabola che è: y' = 2ax + b Per la condizione di passaggio per il punto d diventa: y' = 2ad + b Dalla formula del fascio di rette così posto: y = m(x − x0) + y0 sostituendo i nostri dati troveremo la retta tangente: y = (2ad + b)(x − d) + ad2 + bd + c y = 2adx − 2ad2 + bx − bd + ad2 + bd + c y = 2adx − ad2 + bx + c y = (2ad + b)x − ad2 + c Fascio di parabole [modifica] In geometria analitica, un fascio di parabole si ottiene mediante una combinazione lineare, vale a dire effettuando la somma di due equazioni (in forma implicita) entrambe rappresentanti parabole (che saranno le generatrici del fascio) e moltiplicando una di esse per un parametro (in questo caso k): In questo caso, le due parabole presentano l'asse parallelo all'asse y. Una delle due parabole generatrici, ed esattamente quella moltiplicata per il parametro, sarà esclusa dal fascio, perché non si otterrà per nessun valore di k. Essa viene quindi definita la parabola esclusa del fascio, e si ottiene solo se k assume un valore infinito, che però non è un numero reale. Effettuando i vari calcoli, il fascio si presenta in questa forma, la forma canonica di un fascio di parabole: Un fascio di parabole può presentare o meno punti base, ovvero punti attraverso i quali passano tutte le parabole del suo fascio. I punti base di un fascio si ottengono mettendo a sistema le equazioni delle due parabole generatrici. Eguagliando le y delle due equazioni si otterrà quindi la seguente equazione: A questo punto si presenteranno diverse possibilità: se il discriminante di questa equazione è positivo, esisteranno due punti base distinti che, sostituiti nell'equazione del fascio, la soddisferanno; se il discriminante è nullo, allora i due punti base saranno coincidenti e tutte le parabole del fascio ammetteranno una tangente comune e saranno tangenti fra di loro nei due punti base coincidenti, che apparterranno a questa tangente; se il discriminante è negativo, non esisteranno punti base. Riassumendo: due punti base reali e distinti due punti base reali e coincidenti non esistono punti base Può capitare che il fascio presenti un solo punto base, di molteplicità 1, attraverso il quale passano tutte le parabole del fascio. Ciò accade solo quando queste presentano lo stesso valore, non solo in modulo, del coefficiente del termine di primo grado a. Il fascio può contenere rette o coppie di rette. Se k assume valori tali che il coefficiente del termine di secondo grado si annulli, l'equazione del fascio di parabole si riduce all'equazione di una retta, del tipo , equazione che, nel caso in cui i punti base sono reali e distinti, è la retta passante per questi, nel caso in cui sono reali e coincidenti, è la retta tangente a tutte le parabole del fascio, nel caso in cui non esistono, è una retta qualunque del fascio. Se k assume valori tali che il coefficiente della y si annulli, l'equazione del fascio di parabole si riduce ad un'equazione di secondo grado in x, del tipo , equazione che rappresenta una coppia di rette, parallele all'asse y (nel caso di questo fascio) e passanti per le ascisse dei due punti base del fascio. Se questi non esisteranno, il fascio non conterrà coppie di rette, se saranno coincidenti, le rette della coppia saranno anch'esse coincidenti. Se k non assume valori per cui si possano ottenere rette o coppie di rette, o le une o le altre non sono presenti nel fascio. Si noti che in molti casi le due generatrici del fascio sono proprio una retta e una coppia di rette, e che solitamente è la coppia di rette a venire moltiplicata per il parametro e ad essere quindi esclusa dal fascio. Disequazione di secondo grado [modifica] La parabola può anche essere utilizzata nella risoluzione delle disequazioni di secondo grado, tramite delle semplici verifiche. Bisogna innanzitutto tener presente il verso della parabola attraverso il coefficiente dell'incognita elevata al quadrato; se tale coefficiente è positivo la parabola sarà rivolta verso l'alto, verso il basso altrimenti. Occorre poi capire se la parabola intersechi o meno l'asse delle ascisse attraverso il discriminante: se esso è positivo, la parabola avrà due intersezioni con l'asse delle x che è possibile scoprire risolvendo l'equazione di secondo grado associata; se nullo, la parabola sarà tangente all'asse in un punto le cui coordinate si possono scoprire in modo analogo al precedente; se negativo, la parabola non avrà intersezioni con l'asse e sarà totalmente sopra o totalmente sotto di esso, rispettivamente se a > 0 o se a < 0. A questo punto potendo disegnare approssimatamente la parabola, si può verificare facilmente per quali valori di x la parabola assuma valori positivi, negativi o nulli. Parabola come luogo geometrico [modifica] La parabola, in geometria descrittiva, può essere definita anche come luogo geometrico dei centri delle ellissi (inclusa la circonferenza come caso particolare d'ellisse) tangenti una retta r ed un'ellisse Δ assegnati. La retta r viene detta direttrice e la retta polare del punto improprio, che ha la direzione di r , viene detta asse della parabola. Nel caso in cui l'asse di simmetria di Δ è perpendicolare ad r, si ha una parabola simmetrica.