Matematica Insieme

Le geometrie non euclidee

Col nome di geometria non euclidea si indica una geometria che nega o non accetta alcuni postulati di Euclide; questa geometria si fonda sulla negazione del V postulato, che afferma che per un punto esterno a una retta passa una e una sola retta parallela a quella data.

Questo postulato fu per molto tempo oggetto di studio e discussione. Molti matematici, tra i quali probabilmente Euclide stesso, hanno creduto che esso potesse essere una conseguenza dei quattro postulati precedenti, ma tutti gli sforzi dati a dimostrare questa affermazione non ebbero alcun risultato positivo. Nei primi decenni del XIX secolo, il fallimento di tutti i tentativi effettuati aveva convinto i matematici dell'impossibilità di dimostrare il V postulato. È da questo momento che inizia a farsi strada l'idea di costruire altre geometrie che facciano a meno del V postulato. Nascono così le prime geometrie non euclidee, inizialmente al fine di dimostrare l'assurdità del V postulato.

 Sara Scrima I B corso C.A.T.

Le teorie geometriche non Euclidee  si fondano sulla negazione del quinto postulato di Euclide.Il postulato afferma che per un punto esterno a una retta passa una e una sola retta parallela a quella data.  Il quinto postulato di Euclide fu per molto tempo oggetto di studio e discussione da parte dei matematici,convinti di poterne dimostrare la dipendenza dai quattro postulati precedenti,ma nessuno riuscì mai nell’impresa. A partire dall’inizio del XIX secolo si passò dunque a un altro approccio: si ritennero validi i primi quattro postulati e si provò a negare il quinto, per capire se tra le conseguenze di un simile apparato di assiomi vi fossero delle contraddizioni; in questo modo, il quinto postulato di Euclide sarebbe stato dimostrato per assurdo. Fu nell’ambito di questi studi che, intorno agli anni Trenta dell’Ottocento,nacquero le cosiddette “geometrie non euclidee”, sistemi coerenti di geometria che, in luogo del quinto postulato di Euclide, prevedevano l’assioma contrario.Poiché le proprietà enunciate nel quinto postulato sono due,  le possibili negazioni sono due. Ne nacquero quindi due sistemi geometrici coerenti: la geometria iperbolica, costruita sulla base dell’assioma per cui non esiste una, ma infinite parallele, e la geometria ellittica, basata sull’assioma secondo cui non esiste la parallela per un punto esterno a una retta data.

Manzelli Attilio Giuseppe I B corso C.A.T