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Un po' di geometria, per scordarsi il caldo

Post n°1562 pubblicato il 15 Luglio 2010 da tanksgodisfriday

Tag: numeri-e-giochi

Non

so se funziona, ma provare non costa nulla. Quindi ecco un bel problema, su cui concentrarsi per qualche minuto, scordandosi del caldo, che già a quest'ora imperversa.

Il problema è stato proposto lo scorso aprile nel 2010 Hypatia Contest, dall'università canadese di Waterloo, riservato agli studenti del "Grade 11", cioè ragazzi all'undicesimo anno di scuola; da noi dovrebbe corrispondere la terza liceo.

Il lato del quadrato in figura misura 4 e il triangolo ABE è equilatero. Dal punto P di intersezione del lato BE e della diagonale AC, si cala la perpendicolare al lato BC, che viene tagliato nel punto Q.
1. Quanto misurano gli angoli del triangolo BPC?
2. Quanto misura l'area di APE?

Se non ho preso lucciole per lanterne, non è difficilissimo, ma dovrebbe comunque garantire quel minimo di distrazione che faccia scordare per un po' il caldo.
Scordare, o meglio dimenticare, perché c'è una bella differenza tra i due verbi, me l'ero appuntata in un post di un po' di tempo fa.

Buon giovedì.

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Rispondi al commento:

peppe il 15/07/10 alle 18:59 via WEB

lune latita... quindi tocca a me fare il lavoro sporco. :-)
innanzitutto, il teorema di pitagora permette di calcolare in generale l'altezza di un triangolo equilatero come sqrt(3)/2 del lato.
cio' permette di calcolare immediatamente l'area del triangolo ABE come sqrt(3)/2 * 4 * 4 / 2 = 4 sqrt(3).
per calcolare l'altezza BQ del triangolo APB, basta considerare che l'angolo PBQ e' di 30 gradi, quindi il triangolo PBQ e' meta' di un triangolo equilatero, pertanto PB = 2 x, da cui BQ = sqrt(3)/2 * 2x = sqrt(3) * x. la relazione BQ + QC = BC si puo' scrivere come x * sqrt(3) + x = 4, da cui x = 4 / (sqrt(3) + 1) = 2 * (sqrt(3) - 1) [questo passaggio puo' sembrare strano, ma si ottiene semplicemente moltiplicando numeratore e denominatore per sqrt(3) - 1, e sviluppando il prodotto], e di conseguenza BQ = 2 * (3 - sqrt(3)).
a questo punto l'area di APE si calcola come differenza delle aree di ABE e ABP, cioe' 4 sqrt(3) - 4 * 2 * (3 - sqrt(3)) / 2 = 8 sqrt(3) - 12 = 1.856 circa.
ciao ciao

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