Paghe e contabilità

LA PROBABILITA’ DI OSSERVARE L’ESPLOSIONE DI UNA STELLA di Walter Caputo - 7-12-08

Ci sono eventi rarissimi nella vita di una persona: eventi che hanno una probabilità microscopica di verificarsi. La probabilità è un numero, ma in questo caso è così vicino a zero che può essere – appunto – approssimato a zero.

Questa è una visione matematica del calcolo delle probabilità: secondo questo approccio dovremmo semplicemente trascurare gli eventi rarissimi. Eppure talvolta eventi rarissimi irrompono pesantemente nella nostra vita quotidiana: ad esempio la vincita ad una lotteria. E allora la visione umana della probabilità spesso spinge la gente comunque a tentare la fortuna. Finché la probabilità non è effettivamente zero, l’evento in questione può verificarsi. E – se si verifica – è un evento così gradito che – nei nostri calcoli – il gioco vale sempre la spesa.

Ammettiamo, ad esempio, di dover cercare il classico ago nel pagliaio, ma consideriamo una posta altissima in caso di riuscita. Abbiamo i mezzi per concentrare i nostri sforzi soltanto sul 25% della zona in cui l’evento potrebbe verificarsi. Se l’estensione della superficie della zona fosse di un milione di unità, in prima approssimazione la nostra probabilità di successo sarebbe 1 : 250.000, poiché 250.000 è il 25% di 1.000.000. Possiamo cercare l’ago solo su 250.000 unità della zona, quindi il numero di casi possibili è 250.000, mentre il numero di casi favorevoli all’evento è uno: secondo uno dei possibili approcci al calcolo delle probabilità, essa è definita come il rapporto fra numero di casi favorevoli all’evento e numero di casi possibili, ammesso però che questi ultimi abbiano tutti la stessa probabilità di verificarsi, cioè siano equiprobabili.

Tuttavia, nella nostra ricerca dell’ago nel pagliaio, non possiamo considerare soltanto la zona, cioè l’aspetto geografico del fenomeno. Occorre considerare anche il tempo: oggi l’ago c’è, ma domani è sparito. Anzi, potrebbe sparire fra circa dieci minuti. Ipotizziamo un tempo complessivo piuttosto lungo: circa dieci milioni di anni. La ricerca di cui stiamo parlando ha infatti un’importanza fondamentale, per cui non vi si possono dedicare solo gli sforzi di una vita di una persona. Tantissime persone continueranno la ricerca iniziata dal "pioniere". L’obiettivo è essere al posto giusto (nella zona) e al momento giusto (quando l’ago è visibile).

Analogamente a quanto detto in precedenza, ora possiamo calcolare una nuova probabilità, sempre espressa come rapporto fra casi favorevoli e casi possibili: essa è pari a 10 minuti su 10.000.000 anni, cioè 10 minuti su 10.000.000 x 365 x 24 x 60 = 5,256 x 10¹² minuti. Per trasformare gli anni in minuti occorre moltiplicare per 365 (giorni in un anno), 24 (ore in un giorno) e 60 (minuti in un’ora): si ottiene così un numero gigantesco che – scritto in maniera compatta, cioè nella notazione scientifica – equivale a 5,256 x 10¹² cioè 5,256 per uno seguito da 12 zeri. Per fare un altro esempio numerico diciamo che 376 è pari a 3,76 x 10¹² ,infatti 10² = 100 e 100 x 3,76 = 376.

A questo punto abbiamo il numeratore e il denominatore espressi nella stessa unità di misura (= minuti): quindi, calcolatrice alla mano, possiamo eseguire il calcolo [10 : (5,256 x 10¹²)]. Dato che 5,256 x 10¹² è un numero enorme, il risultato della frazione sarà un numero piccolissimo, precisamente 1,902587519 x 10^-12. Questa volta abbiamo una potenza negativa, come ad es. 10^-3 = 0,001, quindi 10^-12 è pari a 0,000000000001 (12 zeri tra prima e dopo la virgola).

Ci conviene approssimare prendendo un numero un po’ più grande, ma anche un po’ più comodo: uno su 10 miliardi, cioè 1 x 10^-10 . Abbiamo così scoperto che la probabilità di azzeccare i 10 minuti di visibilità dell’ago su un arco di tempo di 10 milioni di anni è più piccola di uno su 10 miliardi.

Come possiamo "coniugare" questo risultato con la precedente probabilità, pari ad uno su 250.000 di azzeccare la "sottozona" geografica di interesse ?

Il punto è che noi desideriamo essere al posto giusto nel momento giusto, quindi vogliamo che i due eventi (dei quali abbiamo calcolato le rispettive probabilità) si verifichino contemporaneamente. Bene, allora basta applicare il principio della "probabilità composta", cioè eseguire il prodotto fra le due probabilità, ammesso però che i sue eventi siano fra loro indipendenti. Spesso è difficile fare questo tipo di verifica, in quanto un minimo di dipendenza fra due eventi qualsiasi esiste comunque, posto di accettare che tutto ciò che osserviamo in natura sia frutto della grande esplosione detta Big Bang: se l’Universo ha avuto origine da un punto infinitamente più piccolo di una capocchia di spillo, allora tutti gli elementi che osserviamo sono in qualche modo collegati da un nesso causa – effetto.

Nel nostro caso, per semplicità, ipotizziamo l’indipendenza fra gli eventi. Se invece considerassimo i due eventi dipendenti, dovremmo applicare formule statistiche più avanzate a quantità difficilmente misurabili. Quindi eseguiamo il prodotto fra le due probabilità: (1 : 250.000) x (1 : 10 miliardi) = 4 x 10^-16 = 0,0000000000000004. Se sapessimo che esistono circa 5.000.000 di pagliai (nella zona sottoposta ad indagine), potremmo moltiplicare 4 x 10^-16 x 5.000.000. Otterremmo così un numero di aghi pari a 0,000000002. Si tratta di un numero straordinariamente piccolo: vale la pena quindi iniziare a cercare aghi nei pagliai ? Sì, perché la posta in gioco è altissima: osservare in diretta l’esplosione di una stella, cioè la nascita di una supernova.

Ciò è avvenuto agli inizi del 2008 (si veda "Come esplode una stella" di Patrizia Caraveo su "Le Scienze" di luglio 2008) ed è stato un evento straordinario, poiché il numero di supernove potenzialmente osservabili è circa pari al numero di aghi precedentemente calcolato.

L’esplosione di una stella viene rilevata da un’emissione di raggi X. L’osservatorio orbitante Swift, costruito a questo scopo, ha un campo di vista di circa quattro milionesimi di cielo, quindi la probabilità di centrare la zona giusta di cielo è pari ad uno su 250.000 (1.000.000 : 4 = 250.000).

La probabilità di cogliere il momento giusto è pari al rapporto fra la durata di un lampo X e la vita media di una stella di grande massa (la quale, proprio a causa della sua rilevante massa, è destinata a concludere la sua vita con i fuochi d’artificio, cioè esplodendo in una supernova, oppure in maniera più discreta ma anche più misteriosa, vale a dire trasformandosi in un buco nero): 10 minuti su 10 milioni di anni, cioè meno di uno su 10 miliardi.

Se consideriamo una popolazione di qualche milione di stelle di grande massa, la probabilità di osservare casualmente la nascita di una supernova è inferiore ad uno su un miliardo. Eppure è successo.

A.d.P. N. 34: Calcolo dell’imponibile fiscale, IRPEF lorda, detrazioni e IRPEF netta

RIFERIMENTO

Bernardo Bolzano (ADP n. 27)

ULTERIORI  DATI

CCNL Metalmeccanici Grande industria
A carico: 2 figli, uno di 2 anni abile ed uno di 8 anni disabile
Ripartizione fra i coniugi delle detrazioni per figli a carico: 50%

Imponibile fiscale

Trasferta = (60 – 46,48) x 3 =                      40,56 euro
più erogazione liberale =                             200 euro
più buoni pasto = (11 - 5,29) x 7 =               39,97 euro
meno permessi non retribuiti =                     45 euro
più auto = [(15000 x 1,5) x (50/100)]/12 = 937,5 euro
più indennità INPS di malattia =                   225 euro
più integrazione ditta malattia =                   75 euro
più superminimo =                                       80 euro
più indennità ferie non godute =               134 euro
più indennità INAIL infortunio =                180 euro
più integrazione ditta infortunio =             30 euro
più indennità di cassa =                           95 euro
più incentivo esodo =                           1700 euro
meno contributi previdenziali =           150,61 euro
uguale imponibile fiscale mensile        3541,42 euro

IRPEF lorda

1250 x (23/100) = 287,5 euro (1^ scaglione)
(2333,33 – 1250) x (27/100) = 292,50 euro (2^ scaglione)
(3541,42 – 2333,33) x (38/100) = 459,07 euro (3^ scaglione)
287,5 + 292,50 + 459,07 = 1039,07 euro = IRPEF lorda totale

Detrazioni

Detrazioni per lavoro dipendente

3541,42 x 13 = 46038,46 euro = reddito complessivo = imponibile fiscale annuo
Scaglione 28001 – 55000:
1338 x [(55000 - 46038,46) : 40000] = 1338 x 0,2240 = 299,71 euro = detrazione annua per lavoro dipendente

Il valore del rapporto nella formula sopra riportata va troncato alla 4^ cifra decimale. In realtà, se si prendono tutte le cifre decimali, le differenze sono così piccole da essere trascurabili.

299,71 / 12 = 24,98 euro = detrazione mensile per lavoro dipendente

Detrazione per figli a carico

900 + 1020 = 1920 euro = importo teorico annuo
1920 x [(110000 – 46038,46) : 110000] = 1116,42 euro = detrazione annua per 2 figli a carico
1116,42 / 12 = 93,04 euro = detrazione mensile per 2 figli a carico
93,04 x (50/100) = 46,52 euro = detrazione spettante per 2 figli a carico

24,98 + 46,52 = 71,50 euro = totale detrazioni mensili

IRPEF netta

1039,07 – 71,5 = 967,57 euro = IRPEF netta

[a cura di Walter Caputo 6-2-09]