Paghe e contabilità

PROBABILITA' ZERO? di Walter Caputo - 4/9/2011

Consideriamo un disco rotante, sul cui bordo sia presente il punto A. Posizioniamo una freccia con la punta rivolta verso il disco. Facciamo girare il disco: quanto vale la probabilità che il punto A si fermi esattamente davanti al disco?

Proviamo a determinare il rapporto fra il numero di casi favorevoli (all’evento che ci interessa) e il numero di casi possibili. I casi possibili sono pari alla lunghezza della circonferenza, ovvero 2πr. Quale lunghezza conterrà il punto A? Diciamo che il punto A è contenuto nell’arco h. E quanto misura l’arco h? Bé, l’arco h potrebbe essere più o meno grande, dipende da quanti punti vogliamo far stare uno vicino all’altro sul bordo della circonferenza.

Dai corsi di probabilità abbiamo imparato che, detto alla buona, potremmo dividere il disco in 50 archi, ma ciascun arco potrebbe essere diviso in 2 e ciascun arco così ottenuto potrebbe essere ulteriormente diviso in due parti. Dato che idealmente ciascun arco si può sempre suddividere dobbiamo pensare che il numero di punti disposti sul disco sia infinito e che quindi ciascun punto occupi un arco così piccolo che tende a zero.

Dobbiamo concludere che h - il caso favorevole al nostro evento – tende a zero. Se dividiamo qualcosa che tende a zero (in realtà stiamo calcolando un limite) per la lunghezza della circonferenza otteniamo inevitabilmente zero. Quindi non è possibile che, in seguito alla rotazione del disco, il punto A si fermi esattamente davanti alla punta della freccia.

Questo è ciò che ci hanno insegnato, ma – francamente – i conti non tornano. Non c’è bisogno di aver frequentato un corso di calcolo delle probabilità o anche soltanto un corso base di statistica per sapere che è possibile che quel punto si fermi davanti a quella freccia. Perché? Semplicemente perché il punto esiste e la freccia pure e non stiamo discutendo se sia molto o poco probabile che il punto e la freccia giungano a guardarsi in faccia, ma stiamo solo dicendo che è una cosa che può succedere. E di conseguenza l’evento in questione deve avere una certa probabilità di verificarsi. Eppure abbiamo studiato che la probabilità è zero e il fatto ci è stato prospettato come assoluto, ovvero del genere: “è così e basta”. Forse mentre preparavamo quell’esame ci abbiamo pensato un po’ su, ma poi abbiamo desistito, considerando che la data dell’appello si avvicinava e che potevamo anche accettare la cosa come un dogma, ci bastava saper risolvere gli esercizi.

In “Numerical Computations and mathematical modelling with infinite and infinitesimal numbers” il Prof. Yaroslav Sergeyev ci spiega che i risultati di cui sopra dipendono dal sistema numerale utilizzato. E, scegliendo un opportuno sistema numerale, i conti tornano e la matematica ritorna ad essere coerente con ciò che possiamo osservare. E forse in questo modo diventa quasi una persona simpatica.

Come possiamo esprimere i punti che si trovano sul bordo della circonferenza? Fissiamo un numero (K) di punti che siamo in grado di distinguere. Ogni singolo punto è un evento elementare e la somma dei punti è pari a K. Se il nostro disco è ben bilanciato ciascun singolo punto ha la stessa probabilità di incontrare la freccia. Tale probabilità è 1/K ed è maggiore di zero. Infatti c’è un solo punto A (caso favorevole) e K punti in tutto (casi possibili).

A questo punto la soluzione sembrerebbe così semplice da sembrare semplicistica: abbiamo soltanto segnato una serie di tacche sul bordo del disco, un po’ come se avessimo reso discreta una lunghezza “intrinsecamente” continua. In realtà partiamo da questo principio: la sequenza che rappresenta la lunghezza è infinita, ma contiene un numero di elementi ben preciso che dipende da un’unità di misura che definiamo – in inglese - “grossone” (in italiano “grossone”, in simboli un 1 cerchiato). L’insieme dei numeri naturali comprende un numero di elementi pari a grossone. Supponiamo ora che siamo in grado di distinguire sulla circonferenza grossone punti quindi K =  grossone. Ora dobbiamo decidere quanti numerali usare per rappresentare il punto A: diciamo m. Allora la probabilità che il punto A incontri la freccia è pari a m/K ovvero m/grossone che è comunque maggiore di zero. Quindi quando m e’ un numero finito, la probabilita’ m/grossone e’ un valore infinitesimo, cioe positivo diverso da zero. Quando noi siamo in grado di distinguere sulla circonferenza 2grossone punti o grossone al quadrato punti il calcolo si esegue nello stesso modo.

In termini tecnici, secondo la teoria tradizionale della probabilità, la probabilità che una variabile casuale continua assuma un determinato valore è pari a zero. Grazie al lavoro del Prof. Sergeyev abbiamo imparato che le probabilità non sono dei valori assoluti:  essi dipendono dall’accuratezza scelta per il modello che descrive l’esperimento. Così anche la probabilità segue per analogia la Fisica, in cui non è possibile ottenere risultati che abbiano una precisione maggiore rispetto a quella che caratterizza la misura dei dati. Inoltre non possiamo ottenere una precisione più alta di quella che caratterizza i numerali usati nel modello matematico.

In buona sostanza i limiti (in senso matematico) usati nella teoria delle probabilità tradizionale non sono altro che limiti dei sistemi numerali scelti per misurare i risultati degli esperimenti. Grazie all’introduzione del nuovo sistema numerale basato su grossone diventa  possibile cambiare sistema numerale ed ottenere una maggiore precisione: invece di zero, valore poco preciso, otteniamo m/grossone che è piccolo ma è maggiore di zero e – soprattutto – è un valore più preciso.

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