Matematicamente

[b]La musica dell'infinito (Seconda parte) [\b]

Abbiamo visto come i numeri naturali [b]N[\b] sono tanti quanti gli interi [b]Z[\b]. Possiamo quindi fare una piccola generalizzazione e dire che se di un'insieme numerico considero solo i positivi, poi posso riordinarli in modo che così poi li stia contando tutti (se i positivi sono tanti quanti quelli negativi, che è il caso dei razionali [b]Q[\b] e dei reali [b]R[\b]). Per contare i razionali, quindi, ci limiteremo ai razionali positivi.

Ma contare i razionali sembra molto più complicato: pensate solo al fatto che tra 0 e 1 ci sono infiniti numeri razionali, tutti belli addensati... quest'immagine ci farebbe pensare che i razionali siano di più dei reali... e invece no! Cantor ebbe un'idea geniale che ora è nota come "primo trucco diagonale di Cantor". Illo infatti dispose i razionali positivi nel seguente modo:

1 2 3 4 5 ...
1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 ...
1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 ...
1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 ...
1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 ...
.... .... .... .... .... ...

ossia immagino che fossero messi tutti su una griglia infinita. A essere precisi erano anche più di tutti, infatti alcuni sono contati più di una volta dato che, ad esempio 2=4/2 et-cetera. Ma tanto a lui non è che importasse gran ché. Solo che a questo punto li poteva riordinare per diagonale, ossia nel seguente modo:

1 1/2 2 1/3 2/2 3 1/4 2/3 3/2 4 1/5 2/4 3/3 4/2 5 ....

capito qual'è il trucco? così facendo dimostrò che i razionali, che sembrano essere infinitamente di più dei naturali, in realtà erano anche loro "numerabili".

(Fine seconda parte)